Teoria ed elaborazione dei segnali:Trasformazioni e spettro di potenza

Il titolo di questa voce non è corretto per via delle caratteristiche del software MediaWiki. Il titolo corretto è A12. Trasformazioni e spettro di potenza.

A11. Stazionarietà	Teoria ed elaborazione dei segnali (Teoria dei segnali)	A13. Medie temporali ed ergodicità

Gli appunti che seguono sono contenuti nella sottopagina /sub (modifica · cronologia · aggiorna)

Trasformazioni lineari di processi casuali

2 Un sistema deterministico che elabora un processo casuale $X \left( t \right)$ fornisce alla sua uscita un processo casuale $Y \left( t \right)$.

5 Se il sistema è lineare, la media:

$m_Y \left( t \right) \triangleq E \left( Y \left( t \right) \right)$

e la funzione di autocorrelazione:

$R_Y \left( t_1 , t_2 \right) \triangleq E \left( Y \left( t_1 \right) Y^* \left( t_2 \right) \right)$

dell'uscita sono esprimibili rispettivamente in funzione della media e dell'autocorrelazione dell'ingresso $X \left( t \right)$.

Esempi

Integrale

$Y \left( t \right) = \int_{T_1}^{t} X \left( \tau \right) d \tau \Rightarrow \begin{cases} m_Y \left( t \right) = \int_{T_1}^t m_X \left( a \right) da \\ R_Y \left( t_1 , t_2 \right) = \int_{T_1}^{t_1} \int_{T_1}^{t_2} R_X \left( a , b \right) da db \end{cases}$

Derivata

$Y \left( t \right) = \frac{d}{dt} X \left( t \right) \Rightarrow \begin{cases} m_Y \left( t \right) = \frac{d}{dt} m_X \left( t \right) \\ R_Y \left( t_1 , t_2 \right) = \frac{\partial^2}{\partial t_1 \partial t_2} R_X \left( t_1 , t_2 \right) \end{cases}$

---

8 È spesso molto difficile determinare la distribuzione di probabilità del processo in uscita. Se il processo $X \left( t \right)$ in ingresso è gaussiano, allora il processo $Y \left( t \right)$ in uscita da un qualsiasi sistema lineare è ancora gaussiano.

Trasformazioni lineari tempo-invarianti

6 Se il sistema è LTI, di funzione di trasferimento $H \left( f \right)$, e il processo di ingresso $X \left( t \right)$ è stazionario in senso lato, valgono le seguenti espressioni:

• $m_Y = m_X H \left( 0 \right) = m_X \int_{- \infty}^{+ \infty} h \left( \tau \right) d \tau$
• $R_Y \left( \tau \right) = R_X \left( \tau \right) * R_h \left( \tau \right)$
• $R_{XY} \left( \tau \right) = R_X \left( \tau \right) * h \left( \tau \right)$

Si ricorda che la funzione di autocorrelazione $R$ è definita diversamente per i segnali determinati:

$R_h \left( \tau \right) \triangleq \int_{- \infty}^{+ \infty} h \left( t + \tau \right) h^* \left( t \right) dt$

Trasformazioni lineari tempo-varianti

Modulazione di ampiezza

9 Il segnale analogico è rappresentato dal processo in ingresso $M \left( t \right)$ (messaggio). Nella modulazione di ampiezza, il messaggio modula l'ampiezza della sinusoide portante (segnale determinato):

$Y \left( t \right) = \left[ a_0 + a_1 M \left( t \right) \right] \cos{\left( 2 \pi f_0 t + \theta \right)}$

Sotto le ipotesi:

• il processo $M \left( t \right)$ è stazionario in senso lato;
• il valor medio $E \left[ M \left( t \right) \right]$ è nullo.

10 si ottiene:

$\begin{cases} m_Y \left( t \right) = a_1 E \left[ M \left( t \right) \right] \cos{ \left( 2 \pi f_0 t + \varphi \right) } + a_0 \cos {\left( 2 \pi f_0 t + \varphi \right) } \\ R_Y \left( t_1 , t_2 \right) = \left[ a_0^2 + a_1^2 R_M \left( t_1 - t_2 \right) \right] \cos{\left( 2 \pi f_0 t_1 + \varphi \right) \cos{\left( 2 \pi f_0 t_2 + \varphi \right)}} \end{cases}$

11 Per stazionarizzare il processo in uscita $Y \left( t \right)$, la fase $\varphi$ diventa una variabile casuale uniforme in $\left[ - \pi , \pi \right]$:

$\begin{cases} m_{Y'} \left( t \right) = 0 \\ R_{Y'} \left( t_1 , t_2 \right) = \frac{1}{2} \left[ a_0^2 + a_1^2 R_M \left( \tau \right) \right] \cos{\left( 2 \pi f_0 \tau \right)} \end{cases}$

Modulazione di fase

12-13 Nella modulazione di fase, il messaggio modula la fase della sinusoide portante:

$Y \left( t \right) = a_0 e^{j \left[ a_1 t + a_2 M \left( t \right) + \theta \right]} \Rightarrow \begin{cases} m_Y \left( t \right) = a_0 E \left[ a_0 e^{j a_2 M \left( t \right)} e^{j \left( a_1 t + \theta \right)} \right] \\ R_Y \left( t_1 , t_2 \right) = a_0^2 e^{j a_1 \left( t_1 - t_2 \right)} C_{\xi} \left( a_2 \right) , \quad \xi = M \left( t_1 \right) - M \left( t_2 \right) \end{cases}$

dove $C_{\xi} \left( a \right)$ è la funzione caratteristica:

$C_{\xi} \left( a \right) \triangleq E \left( e^{j a \xi} \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{jax} f_{\xi} \left( x \right) dx$

14 Nel caso di un processo gaussiano, stazionarizzando con $\theta$ variabile casuale uniforme in $\left[ - \pi , \pi \right]$:

$\begin{cases} m_{Y'} \left( t \right) = 0 \\ R_{Y'} \left( \tau \right) = a_0^2 e^{ja_1 \tau} e^{- a_2^2 \left[ R_M \left( 0 \right) - R_M \left( \tau \right) \right]} \end{cases}$

Dimostrazione

La funzione caratteristica del processo gaussiano $\xi$ vale:

$\mathcal{F} \left\{ f_{\xi} \left( t \right) \right\} \triangleq \int_{- \infty}^{+ \infty} f_{\xi} \left( t \right) e^{-j 2 \pi f t} dt = \mathcal{F} \left\{ \frac{1}{\sqrt{2 \pi {\sigma}_{\xi}^2}} e^{- \frac{1}{2} {\left[ \frac{t - m_{\xi}}{{\sigma}_{\xi}} \right]}^2} \right\} = e^{- \frac{1}{2} {\left( 2 \pi f {\sigma}_{\xi} \right)}^2} e^{-j 2 \pi f m_{\xi}} \Rightarrow C_{\xi} \left( a_2 \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{ja_2 x} f_{\xi} \left( x \right) dx = e^{- \frac{1}{2} {\left( a_2 {\sigma}_{\xi} \right)}^2} e^{-j a_2 m_{\xi}} =$

Siccome $\xi$ è stazionario in senso lato:

$m_{\xi} = E \left( \xi \right) = 0$

Inoltre:

${\sigma}_{\xi}^2 = E \left[ \xi^2 \right] = E \left[ {\left( M \left( t_1 \right) - M \left( t_2 \right) \right)}^2 \right] = E \left[ \left( M \left( t_1 \right) \right) \left( M \left( t_1 \right) \right) \right] + E \left[ \left( M \left( t_2 \right) \right) \left( M \left( t_2 \right) \right) \right] - E \left[ M \left( t_1 \right) M \left( t_2 \right) \right] = R_{M} \left( 0 \right) + R_{M} \left( 0 \right) - 2 R_{M} \left( t_1 - t_2 \right)$

$= e^{- a_2^2 \left[ R_M \left( 0 \right) - R_M \left( \tau \right) \right]}$

15 Se la sinusoide portante è reale:

$Y \left( t \right) = a_0 \cos{\left( a_1 t + a_2 M \left( t \right) + \theta \right)}$

la funzione di autocorrelazione (sempre nel caso gaussiano) vale:

$R_{Y'} \left( \tau \right) = \frac{1}{2} a_0^2 \cos{\left( a_1 \tau \right) e^{- a_2^2 \left[ R_M \left( 0 \right) - R_M \left( \tau \right) \right]}}$

Densità spettrale di potenza

17 La densità spettrale di potenza, o spettro di potenza, $S_X \left( f \right)$ di un processo $X \left( t \right)$ stazionario in senso lato è la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione $R_X \left( \tau \right)$:

$S_X \left( f \right) \triangleq \mathcal{F} \left\{ R_X \left( \tau \right) \right\} = \int R_X \left( \tau \right) e^{-j2 \pi f \tau} d \tau$

Proprietà

• 19 $S_X \left( f \right)$ è reale e pari;
• $S_X \left( f \right)$ è sempre positiva;
• 18 lo spettro di potenza $S_Y \left( \tau \right)$ di un processo $Y \left( t \right)$ stazionario in senso lato in uscita da un sistema LTI è:

  $R_Y \left( \tau \right) = R_X \left( \tau \right) * R_h \left( \tau \right) \Rightarrow S_Y \left( f \right) = {\left| H \left( f \right) \right|}^2 S_X \left( f \right)$

• l'integrale di $S_X \left( f \right)$ coincide con la potenza media del processo $X \left( t \right)$:

  $E \left[ X^2 \left( t \right) \right] = R_X \left( 0 \right) = \int S_X \left( f \right) df$

Interpretazione fisica

18 Se il sistema LTI è un filtro $H \left( f \right)$ passabanda centrato alla frequenza $f_0$ con banda infinitesimale $\Delta$:

la densità spettrale $S_X \left( f_0 \right)$, centrata in $f_0$, del processo in ingresso $X \left( f \right)$ è proporzionale alla potenza media del processo in uscita $Y \left( f \right)$:

$E \left[ Y^2 \left( t \right) \right] = \int S_Y \left( f \right) df \approx 2 \Delta S_X \left( f_0 \right)$

Rumore gaussiano bianco

20-21 Il rumore gaussiano bianco (WGN) è un modello teorico per il processo termico generato ai capi di una resistenza a temperatura $T$:

• il processo $X \left( t \right)$ è stazionario e gaussiano;
• il valor medio è nullo;
• la densità spettrale di potenza è costante con la frequenza:

  $S_X \left( f \right) = \frac{N_0}{2} , \quad N_0 = k_B T$

• la funzione di autocorrelazione $R_X \left( \tau \right)$:

  $R_X \left( \tau \right) = {\mathcal{F}}^{-1} \left\{ S_X \left( f \right) \right\} = \frac{N_0}{2} \delta \left( \tau \right)$

  • è nulla per $\tau = t_2 - t_1 \neq 0$ → qualsiasi coppia di campioni non prelevati allo stesso istante è scorrelata, e quindi statisticamente indipendente;
  • diverge se la coppia di campioni è prelevata nello stesso istante di tempo ($\tau = t_2 - t_1 = 0$) → il processo ha potenza media infinita.

22 Quando un rumore gaussiano bianco $X \left( t \right)$ entra in un sistema LTI $H \left( f \right)$, il processo di uscita $Y \left( t \right)$ è gaussiano colorato (CGN) con spettro di potenza non più costante:

$S_Y \left( f \right) = {\left| H \left( f \right) \right|}^2 S_X \left( f \right) = \frac{N_0}{2} {\left| H \left( f \right) \right|}^2$

Note

A11. Stazionarietà	Teoria ed elaborazione dei segnali (Teoria dei segnali)	A13. Medie temporali ed ergodicità