FANDOM


Nota disambigua
Il titolo di questa voce non è corretto per via delle caratteristiche del software MediaWiki. Il titolo corretto è A12. Trasformazioni e spettro di potenza.
Blue Glass Arrow RTL  A11. StazionarietàCrystal Clear app kfm home  Teoria ed elaborazione dei segnali (Teoria dei segnali)Blue Glass Arrow  A13. Medie temporali ed ergodicità
Gli appunti che seguono sono contenuti nella sottopagina /sub (modifica · cronologia · aggiorna)

Trasformazioni lineari di processi casualiModifica

2 Un sistema deterministico che elabora un processo casuale X \left( t \right) fornisce alla sua uscita un processo casuale Y \left( t \right).

5 Se il sistema è lineare, la media:

m_Y \left( t \right) \triangleq E \left( Y \left( t \right) \right)

e la funzione di autocorrelazione:

R_Y \left( t_1 , t_2 \right) \triangleq E \left( Y \left( t_1 \right) Y^* \left( t_2 \right) \right)

dell'uscita sono esprimibili rispettivamente in funzione della media e dell'autocorrelazione dell'ingresso X \left( t \right).[1]

EsempiModifica

Integrale
Y \left( t \right) = \int_{T_1}^{t} X \left( \tau \right) d \tau \Rightarrow \begin{cases} m_Y \left( t \right) = \int_{T_1}^t m_X \left( a \right) da \\
R_Y \left( t_1 , t_2 \right) = \int_{T_1}^{t_1} \int_{T_1}^{t_2} R_X \left( a , b \right) da db \end{cases}
Derivata
Y \left( t \right) = \frac{d}{dt} X \left( t \right) \Rightarrow \begin{cases} m_Y \left( t \right) = \frac{d}{dt} m_X \left( t \right) \\
R_Y \left( t_1 , t_2 \right) = \frac{\partial^2}{\partial t_1 \partial t_2} R_X \left( t_1 , t_2 \right) \end{cases}

8 È spesso molto difficile determinare la distribuzione di probabilità del processo in uscita. Se il processo X \left( t \right) in ingresso è gaussiano, allora il processo Y \left( t \right) in uscita da un qualsiasi sistema lineare è ancora gaussiano.

Trasformazioni lineari tempo-invariantiModifica

6 Se il sistema è LTI, di funzione di trasferimento H \left( f \right), e il processo di ingresso X \left( t \right) è stazionario in senso lato, valgono le seguenti espressioni:

  • m_Y = m_X H \left( 0 \right) = m_X \int_{- \infty}^{+ \infty} h \left( \tau \right) d \tau
  • R_Y \left( \tau \right) = R_X \left( \tau \right) * R_h \left( \tau \right)
  • R_{XY} \left( \tau \right) = R_X \left( \tau \right) * h \left( \tau \right)

Si ricorda che la funzione di autocorrelazione R è definita diversamente per i segnali determinati:

R_h \left( \tau \right) \triangleq \int_{- \infty}^{+ \infty} h \left( t + \tau \right) h^* \left( t \right) dt

Trasformazioni lineari tempo-variantiModifica

Modulazione di ampiezzaModifica

9 Il segnale analogico è rappresentato dal processo in ingresso M \left( t \right) (messaggio). Nella modulazione di ampiezza, il messaggio modula l'ampiezza della sinusoide portante (segnale determinato):

Y \left( t \right) = \left[ a_0 + a_1 M \left( t \right) \right] \cos{\left( 2 \pi f_0 t + \theta \right)}

Sotto le ipotesi:

  • il processo M \left( t \right) è stazionario in senso lato;
  • il valor medio E \left[ M \left( t \right) \right] è nullo.

10 si ottiene:

\begin{cases} m_Y \left( t \right) = a_1 E \left[ M \left( t \right) \right] \cos{ \left( 2 \pi f_0 t + \varphi \right) } + a_0 \cos {\left( 2 \pi f_0 t + \varphi \right) } \\
R_Y \left( t_1 , t_2 \right) = \left[ a_0^2 + a_1^2 R_M \left( t_1 - t_2 \right) \right] \cos{\left( 2 \pi f_0 t_1 + \varphi \right) \cos{\left( 2 \pi f_0 t_2 + \varphi \right)}} \end{cases}

11 Per stazionarizzare il processo in uscita Y \left( t \right), la fase \varphi diventa una variabile casuale uniforme in \left[ - \pi , \pi \right]:

\begin{cases} m_{Y'} \left( t \right) = 0 \\
R_{Y'} \left( t_1 , t_2 \right) = \frac{1}{2} \left[ a_0^2 + a_1^2 R_M \left( \tau \right) \right] \cos{\left( 2 \pi f_0 \tau \right)} \end{cases}

Modulazione di faseModifica

12-13 Nella modulazione di fase, il messaggio modula la fase della sinusoide portante:

Y \left( t \right) = a_0 e^{j \left[ a_1 t + a_2 M \left( t \right) + \theta \right]} \Rightarrow  \begin{cases} m_Y \left( t \right) = a_0 E \left[ a_0 e^{j a_2 M \left( t \right)} e^{j \left( a_1 t + \theta \right)} \right] \\ R_Y \left( t_1 , t_2 \right) = a_0^2 e^{j a_1 \left( t_1 - t_2 \right)} C_{\xi} \left( a_2 \right) , \quad \xi = M \left( t_1 \right) - M \left( t_2 \right) \end{cases}

dove C_{\xi} \left( a \right) è la funzione caratteristica:

C_{\xi} \left( a \right) \triangleq E \left( e^{j a \xi} \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{jax} f_{\xi} \left( x \right) dx

14 Nel caso di un processo gaussiano, stazionarizzando con \theta variabile casuale uniforme in \left[ - \pi , \pi \right]:

\begin{cases} m_{Y'} \left( t \right) = 0 \\
R_{Y'} \left( \tau \right) = a_0^2 e^{ja_1 \tau} e^{- a_2^2 \left[ R_M \left( 0 \right) - R_M \left( \tau \right) \right]} \end{cases}

15 Se la sinusoide portante è reale:

Y \left( t \right) = a_0 \cos{\left( a_1 t + a_2 M \left( t \right) + \theta \right)}

la funzione di autocorrelazione (sempre nel caso gaussiano) vale:

R_{Y'} \left( \tau \right) = \frac{1}{2} a_0^2 \cos{\left( a_1 \tau \right) e^{- a_2^2 \left[ R_M \left( 0 \right) - R_M \left( \tau \right) \right]}}

Densità spettrale di potenzaModifica

17 La densità spettrale di potenza, o spettro di potenza, S_X \left( f \right) di un processo X \left( t \right) stazionario in senso lato è la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione R_X \left( \tau \right):

S_X \left( f \right) \triangleq \mathcal{F} \left\{ R_X \left( \tau \right) \right\} = \int R_X \left( \tau \right) e^{-j2 \pi f \tau} d \tau

ProprietàModifica

  • 19 S_X \left( f \right) è reale e pari;
  • S_X \left( f \right) è sempre positiva;
  • 18 lo spettro di potenza S_Y \left( \tau \right) di un processo Y \left( t \right) stazionario in senso lato in uscita da un sistema LTI è:
    R_Y \left( \tau \right) = R_X \left( \tau \right) * R_h \left( \tau \right) \Rightarrow S_Y \left( f \right) = {\left| H \left( f \right) \right|}^2 S_X \left( f \right)
  • l'integrale di S_X \left( f \right) coincide con la potenza media del processo X \left( t \right):
    E \left[ X^2 \left( t \right) \right] = R_X \left( 0 \right) = \int S_X \left( f \right) df

Interpretazione fisicaModifica

18 Se il sistema LTI è un filtro H \left( f \right) passabanda centrato alla frequenza f_0 con banda infinitesimale \Delta:

Spettro di potenza

la densità spettrale S_X \left( f_0 \right), centrata in f_0, del processo in ingresso X \left( f \right) è proporzionale alla potenza media del processo in uscita Y \left( f \right):

E \left[ Y^2 \left( t \right) \right] = \int S_Y \left( f \right) df \approx 2 \Delta S_X \left( f_0 \right)

Rumore gaussiano biancoModifica

Rumore gaussiano bianco

20-21 Il rumore gaussiano bianco (WGN) è un modello teorico per il processo termico generato ai capi di una resistenza a temperatura T:

  • il processo X \left( t \right) è stazionario e gaussiano;
  • il valor medio è nullo;
  • la densità spettrale di potenza è costante con la frequenza:
    S_X \left( f \right) = \frac{N_0}{2} , \quad N_0 = k_B T
  • la funzione di autocorrelazione R_X \left( \tau \right):
    R_X \left( \tau \right) = {\mathcal{F}}^{-1} \left\{ S_X \left( f \right) \right\} = \frac{N_0}{2} \delta \left( \tau \right)
    • è nulla per \tau = t_2 - t_1 \neq 0 → qualsiasi coppia di campioni non prelevati allo stesso istante è scorrelata, e quindi statisticamente indipendente;
    • diverge se la coppia di campioni è prelevata nello stesso istante di tempo (\tau = t_2 - t_1 = 0) → il processo ha potenza media infinita.

22 Quando un rumore gaussiano bianco X \left( t \right) entra in un sistema LTI H \left( f \right), il processo di uscita Y \left( t \right) è gaussiano colorato (CGN) con spettro di potenza non più costante:

S_Y \left( f \right) = {\left| H \left( f \right) \right|}^2 S_X \left( f \right) = \frac{N_0}{2} {\left| H \left( f \right) \right|}^2

NoteModifica

  1. Sotto certe condizioni sul processo di ingresso e sulle sue statistiche del secondo ordine.
Blue Glass Arrow RTL  A11. StazionarietàCrystal Clear app kfm home  Teoria ed elaborazione dei segnali (Teoria dei segnali)Blue Glass Arrow  A13. Medie temporali ed ergodicità

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Inoltre su FANDOM

Wiki casuale