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Trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT)[]

Definizione di DTFT[]

7-9 La trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT) è la trasformata di Fourier della sequenza :

dove è la pulsazione discreta: .

8 La DTFT viene indicata con anziché con per distinguerla dalla trasformata di Fourier di un segnale continuo, ma è a tutti gli effetti in funzione della variabile continua .

7 La DTFT è in realtà il caso particolare per della trasformata di Fourier di un segnale analogico campionato con frequenza di campionamento :

8 che è periodica di periodo → la DTFT è periodica di periodo:

Inversione della DTFT (IDTFT)[]

10-11 Siccome la DTFT è periodica, i coefficienti possono essere intepretati come i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier della DTFT:

Trasformata di Fourier a tempo discreto inversa (IDTFT)
Tempo continuo Tempo discreto
in funzione di in funzione di



Condizioni di esistenza[]

Se la sequenza è assolutamente sommabile, allora:

  • 14 esiste la sua DTFT:
  • 15 la sua energia è finita:

Proprietà della DTFT[]

Linearità[]

19 La DTFT è un operatore lineare:

Ribaltamento[]

20 Un ribaltamento della corrisponde a calcolare la sua DTFT invertendo il segno della frequenza :

Ritardo[]

21 Una traslazione del tempo della sequenza corrisponde a moltiplicare la sua DTFT per un esponenziale complesso:

Traslazione in frequenza (modulazione[]

22 Una traslazione in frequenza della DTFT di una sequenza corrisponde a moltiplicare la sequenza per un esponenziale complesso:

Derivazione in frequenza[]

23

Convoluzione lineare[]

24 La convoluzione tra due sequenze e corrisponde al prodotto tra le singole DTFT:

Prodotto[]

25 Il prodotto tra due sequenze e corrisponde alla convoluzione tra le singole DTFT, con estremi di integrazione e grazie al fatto che la DTFT è periodica:

Relazioni di parità[]

28 Se la sequenza è reale vale la simmetria hermitiana per le sue DTFT attorno alle frequenze e :

e quindi entrambe le DTFT hanno le seguenti relazioni di parità:

  • 27 la parte reale è pari:
  • 29 la parte immaginaria è dispari:
  • il modulo è pari:
  • la fase è dispari:

Valore iniziale e somma dei campioni[]

37 Valore iniziale
Somma dei campioni

Ne consegue che sequenze a valor medio nullo hanno DTFT nulla in .

Relazione di Parseval[]

39 La relazione di Parseval nel dominio del tempo discreto ha estremi di integrazione finiti:

Relazione di Parseval generalizzata

Spettro di energia[]

40 Lo spettro di energia dà informazioni sulla distribuzione dell'energia della sequenza nel dominio della frequenza:

Proprietà

Lo spettro di energia :

  • non può essere negativo;
  • se è reale, è reale e pari;
  • è periodico di periodo 1.

DTFT notevoli[]

Sequenza DTFT
43 Sequenza delta
Sequenza costante
44 Sequenza segno
46 Sequenza gradino
47 Sequenza esponenziale
Sequenza cosinusoidale
Sequenza sinusoidale
48 Sequenza sinc
49 Sequenza porta

Banda di un segnale a tempo discreto[]

Banda assoluta[]

ENS Banda 1

53 La banda assoluta della sequenza è la frequenza , quindi all'interno del singolo periodo della DTFT, per cui la DTFT è identicamente nulla al di fuori dell'intervallo . È l'equivalente della banda unilatera nel dominio del tempo discreto, però si considera solamente un periodo della funzione nel dominio della frequenza (la DTFT ha sempre supporto infinito).

Banda equivalente[]

ENS Banda 2

54 La larghezza di banda è pari alla semilarghezza del rettangolo:

  • la cui altezza è pari al massimo dello spettro di energia ;
  • la cui area è uguale all'energia complessiva della DTFT, cioè all'area sottesa da all'interno del singolo periodo della DTFT:
che per la relazione di Parseval è anche uguale all'energia della sequenza , data dalla somma di tutti i suoi campioni:

Banda Bx%[]

ENS Banda 3

55 La banda è la frequenza per cui l'intervallo corrisponde all' dell'energia complessiva della sequenza , ovvero all' dell'area sottesa dallo spettro di energia all'interno del singolo periodo della DTFT:

Banda a 3 dB[]

56 La banda a 3 dB è la frequenza a cui l'ampiezza dello spettro di energia si riduce di 3 dB rispetto al suo massimo:

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