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Trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT)Modifica

Definizione di DTFTModifica

7-9 La trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT) X \left( e^{j2 \pi f} \right) è la trasformata di Fourier della sequenza x \left( n \right):

X \left( e^{j2 \pi f} \right) = \mathcal{F} \left\{ x \left( n \right) \right\} = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) e^{-j2 \pi f k} =  \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) e^{-j \omega k}

dove \omega è la pulsazione discreta: \omega = 2 \pi f.

8 La DTFT viene indicata con X \left( e^{j2 \pi f} \right) anziché con X \left( f \right) per distinguerla dalla trasformata di Fourier di un segnale continuo, ma è a tutti gli effetti in funzione della variabile continua f.

7 La DTFT è in realtà il caso particolare per T_c = 1 della trasformata di Fourier di un segnale analogico x \left( t \right) campionato con frequenza di campionamento f_c = \frac{1}{T_c}:

X_c \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k T_c \right) \delta \left( t - k T_c \right) \right\} = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k T_c \right) e^{-j2 \pi f k T_c}

8 che è periodica di periodo f_c → la DTFT è periodica di periodo:

\begin{cases} f_c = \frac{1}{T_c} = 1 \\
\omega = 2 \pi f_c = 2 \pi \end{cases}

Inversione della DTFT (IDTFT)Modifica

10-11 Siccome la DTFT X \left( e^{j \omega} \right) è periodica, i coefficienti x \left( k \right) possono essere intepretati come i coefficienti \mu_k dello sviluppo in serie di Fourier della DTFT:

Trasformata di Fourier a tempo discreto inversa (IDTFT)
Tempo continuo Tempo discreto
in funzione di f in funzione di \omega
x \left( t \right)  = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \mu_k e^{j \frac{2 \pi}{T} kt}
\mu_k = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{+ \frac{T}{2}} x \left( t \right) e^{-j \frac{2 \pi}{T} k t} dt
X \left( e^{j 2 \pi f} \right) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) e^{-j 2 \pi f k}
x \left( k \right) = \int_{- \frac{1}{2}}^{+ \frac{1}{2}} X \left( e^{j 2 \pi f} \right) e^{j2 \pi f k} df
X \left( e^{j \omega} \right) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) e^{-j \omega k}
x \left( k \right) = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{+ \pi} X \left( e^{j \omega} \right) e^{j \omega k} d \omega

Condizioni di esistenzaModifica

Se la sequenza x \left( k \right) è assolutamente sommabile, allora:

  • 14 esiste la sua DTFT:
\sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \left| x \left( k \right) \right| \in \R \Rightarrow \left| X \left( e^{j \omega} \right) \right| \in \R \quad \forall \omega
  • 15 la sua energia è finita:
\sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \left| x \left( k \right) \right| \in \R \Rightarrow E_x = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( k \right) \right|}^2 \in \R

Proprietà della DTFTModifica

LinearitàModifica

19 La DTFT è un operatore lineare:

z \left( n \right) =  a_1 \cdot x \left( n \right) + a_2 \cdot y \left( n \right) \Longleftrightarrow Z \left( e^{j 2 \pi f} \right) = a_1 \cdot X \left( e^{j 2 \pi f} \right) + a_2 \cdot Y \left( e^{j 2 \pi f} \right)

RibaltamentoModifica

20 Un ribaltamento della x \left( n \right) corrisponde a calcolare la sua DTFT invertendo il segno della frequenza f:

z \left( n \right) = x \left( - n \right) \Longleftrightarrow Z \left( e^{j 2 \pi f} \right) = X \left( e^{- j 2 \pi f} \right)

RitardoModifica

21 Una traslazione del tempo della sequenza x \left( n \right) corrisponde a moltiplicare la sua DTFT per un esponenziale complesso:

z \left( n \right) = x \left( n - N \right) \Longleftrightarrow Z \left( e^{j 2 \pi f} \right) = X \left( e^{j 2 \pi f} \right) e^{- j 2 \pi f N}

Traslazione in frequenza (modulazioneModifica

22 Una traslazione in frequenza della DTFT di una sequenza x \left( n \right) corrisponde a moltiplicare la sequenza per un esponenziale complesso:

z \left( n \right) = x \left( n \right) \cdot e^{j 2 \pi f_0 n} \Longleftrightarrow Z \left( e^{j 2 \pi  f } \right) = X \left( e^{j 2 \pi \left( f - f_0 \right)} \right)

Derivazione in frequenzaModifica

23

z \left( n \right) = n \cdot x \left( n \right) \Longleftrightarrow - 2 \pi j \cdot Z \left( e^{j 2 \pi f} \right) = \frac{d }{df} X \left( e^{j 2 \pi f} \right)

Convoluzione lineareModifica

24 La convoluzione tra due sequenze x \left( n \right) e y \left( n \right) corrisponde al prodotto tra le singole DTFT:

z \left(  n \right) = x \left ( n \right) * y \left( n \right) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) y \left( n  - k \right) \Longleftrightarrow Z \left( e^{j 2 \pi f } \right) = X \left( e^{j2 \pi f} \right) \cdot Y \left( e^{j2 \pi f} \right)

ProdottoModifica

25 Il prodotto tra due sequenze x \left( n \right) e y \left( n \right) corrisponde alla convoluzione tra le singole DTFT, con estremi di integrazione - \tfrac{1}{2} e + \tfrac{1}{2} grazie al fatto che la DTFT è periodica:

z \left( n \right) = x \left( n \right) \cdot y \left( n \right) \Longleftrightarrow Z \left( e^{j 2 \pi f} \right) = X \left( e^{j 2 \pi f} \right) * Y \left( e^{j2 \pi f} \right) = \int_{- \frac{1}{2}}^{+ \frac{1}{2}} X \left( e^{j 2 \pi \eta} \right) Y \left( e^{j2 \pi \left( f - \eta \right) } \right) d \eta

Relazioni di paritàModifica

28 Se la sequenza x \left( n \right) è reale vale la simmetria hermitiana per le sue DTFT attorno alle frequenze f = 0 e f = \tfrac{1}{2}:

\begin{cases} X \left( e^{j 2 \pi f} \right) = X^* \left( e^{-j2 \pi f} \right) \\
X \left( e^{j 2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right) = X^* \left( e^{- j 2 \pi \left( f + \frac{1}{2} \right)} \right) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} X_R \left( e^{j2 \pi f} \right) + j X_I \left( e^{j 2 \pi f } \right) = X_R \left( e^{-j2 \pi f} \right) - j X_I \left( e^{-j2 \pi f} \right) \\
X_R \left( e^{j2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right) + j X_I \left( e^{j 2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right) } \right) = X_R \left( e^{-j2 \pi \left( f + \frac{1}{2} \right)} \right) - j X_I \left( e^{-j2 \pi \left( f + \frac{1}{2} \right)} \right) \end{cases}

e quindi entrambe le DTFT hanno le seguenti relazioni di parità:

  • 27 la parte reale è pari:
    \begin{cases} X_R \left( e^{j 2 \pi f} \right) = X_R \left( e^{- j 2 \pi f} \right) \\ X_R \left( e^{j 2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right) = X_R \left( e^{- j 2 \pi \left( f + \frac{1}{2} \right)} \right) \end{cases}
  • 29 la parte immaginaria è dispari:
    \begin{cases} X_I \left( e^{j 2 \pi f} \right) = - X_I \left( e^{- j 2 \pi f} \right) \\ X_I \left( e^{j 2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right) = - X_I \left( e^{- j 2 \pi \left( f + \frac{1}{2} \right)} \right) \end{cases}
  • il modulo è pari:
    \begin{cases} {\left| X \left( e^{j 2 \pi f} \right) \right|}^2 = X_R^2 \left( e^{j 2 \pi f} \right) + X_I^2 \left( e^{j 2 \pi f} \right) \\
{\left| X \left( e^{j 2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right) \right|}^2 = X_R^2 \left( e^{j 2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right) + X_I^2 \left( e^{j 2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right) \end{cases}
  • la fase è dispari:
    \begin{cases} \arg{X_I \left( e^{j2 \pi f} \right)} = \mathrm{arctg}  \frac{X_I \left( e^{j2 \pi f} \right)}{X_R \left( e^{j2 \pi f} \right)}  \\
\arg{X_I \left( e^{j2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right)} = \mathrm{arctg}  \frac{X_I \left( e^{j2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right)}{X_R \left( e^{j2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right)}  \end{cases}

Valore iniziale e somma dei campioniModifica

37 Valore iniziale
\left. x \left( n \right) \right \vert_{n = 0} = x \left( 0 \right) = \int_{- \frac{1}{2}}^{+ \frac{1}{2}} X \left( e^{j 2 \pi f} \right) df
Somma dei campioni
\left. X \left( e^{j2 \pi f} \right) \right \vert_{f = 0} = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right)

Ne consegue che sequenze a valor medio nullo hanno DTFT nulla in f = 0.

Relazione di ParsevalModifica

39 La relazione di Parseval nel dominio del tempo discreto ha estremi di integrazione finiti:

E_x = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( k \right) \right|}^2 = \int_{- \frac{1}{2}}^{+ \frac{1}{2}} {\left| X \left( e^{j2 \pi f} \right) \right|}^2 df
Relazione di Parseval generalizzata
\sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) y^* \left( k \right) = \int_{- \frac{1}{2}}^{+ \frac{1}{2}} X \left( e^{j2 \pi f} \right) Y^* \left( e^{j2 \pi f} \right) df

Spettro di energiaModifica

40 Lo spettro di energia S_x \left( f \right) dà informazioni sulla distribuzione dell'energia della sequenza x \left( n \right) nel dominio della frequenza:

S_x \left( f \right) = {\left| X \left( e^{j2 \pi f} \right) \right|}^2
Proprietà

Lo spettro di energia S_x \left( f \right):

  • non può essere negativo;
  • se x \left( n \right) è reale, è reale e pari;
  • è periodico di periodo 1.

DTFT notevoliModifica

Sequenza x \left( n \right) DTFT X \left( e^{j 2 \pi f} \right)
43 Sequenza delta \delta \left( n \right) 1
Sequenza costante 1 \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \delta \left( f - n \right)<math><br /><math>\delta \left( f \right) \quad f \in \left[ - \frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right]
44 Sequenza segno \sgn \left( n \right) \frac{1 + e^{-j 2 \pi f}}{1 - e^{-j2 \pi f}}
46 Sequenza gradino u \left( n \right) \frac{1}{2} \delta \left( f \right) + \frac{1}{1 - e^{-j2 \pi f}}
47 Sequenza esponenziale e^{j2 \pi f_0 n} \delta \left( f - f_0 \right)
Sequenza cosinusoidale \cos \left( 2 \pi f_0 n \right) \frac{1}{2} \left[ \delta \left( f - f_0 \right) + \delta \left( f + f_0 \right) \right]
Sequenza sinusoidale \sin \left( 2 \pi f_0 n \right) \frac{1}{2j} \left[ \delta \left( f - f_0 \right) - \delta \left( f + f_0 \right) \right]
48 Sequenza sinc \mathrm{sinc} \left( \frac{n}{N} \right) N \cdot P_{\frac{1}{N}} \left( f \right)
49 Sequenza porta p_{2K+1} \left( n \right) \frac{\sin \left[ \pi f \left( 2K + 1 \right) \right]}{\sin \left( \pi f \right)}

Banda di un segnale a tempo discretoModifica

Banda assolutaModifica

ENS Banda 1

53 La banda assoluta della sequenza x \left( n \right) è la frequenza B_x \leq \frac{1}{2}, quindi all'interno del singolo periodo della DTFT, per cui la DTFT \left| X \left( e^{j2 \pi f} \right) \right| è identicamente nulla al di fuori dell'intervallo \left[ - B_x, B_x \right]. È l'equivalente della banda unilatera nel dominio del tempo discreto, però si considera solamente un periodo della funzione nel dominio della frequenza (la DTFT ha sempre supporto infinito).

Banda equivalenteModifica

ENS Banda 2

54 La larghezza di banda B_{\text{eq}} è pari alla semilarghezza del rettangolo:

  • la cui altezza è pari al massimo {\left| X_M \right|}^2 dello spettro di energia  S_x \left( f  \right);
  • la cui area è uguale all'energia complessiva E \left( S_x \right) della DTFT, cioè all'area sottesa da S_x \left( f \right) all'interno del singolo periodo della DTFT:
2 B_{\text{eq}} {\left| X_M \right|}^2 = \int_{- \frac{1}{2}}^{+ {1 \over 2}} S_x \left( f \right) df = \int_{- \frac{1}{2}}^{+ {1 \over 2}} {\left| X \left( e^{2j \pi f} \right) \right|}^2 df
che per la relazione di Parseval è anche uguale all'energia della sequenza x \left( n \right), data dalla somma di tutti i suoi campioni:
2 B_{\text{eq}} {\left| X_M \right|}^2 = E_x = \sum_{k  = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right)

Banda Bx%Modifica

ENS Banda 3

55 La banda B_{x%} è la frequenza per cui l'intervallo \left[ - B_{x%} , B_{x%} \right] corrisponde all'x% dell'energia complessiva della sequenza y \left( n \right), ovvero all'x% dell'area sottesa dallo spettro di energia S_y \left( f \right) all'interno del singolo periodo della DTFT:

\int_{- B_{x%}}^{+ B_{x%}} S_y \left( f \right) df = \frac{x}{100} \int_{- {1 \over 2}}^{+ {1 \over 2}} S_y \left( f \right) df = \frac{x}{100} \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} {\left| y \left( n \right) \right|}^2

Banda a 3 dBModifica

56 La banda a 3 dB B_{3 \text{ dB}} è la frequenza a cui l'ampiezza dello spettro di energia S_x \left( f \right) si riduce di 3 dB rispetto al suo massimo:

S_x \left( B_{3 \text{ dB}} \right) = \frac{{\left| X_M \right| }^2}{2}

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