Trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT) [ ]
Definizione di DTFT [ ]
7-9 La trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT )
X
(
e
j
2
π
f
)
{\displaystyle X \left( e^{j2 \pi f} \right)}
è la trasformata di Fourier della sequenza
x
(
n
)
{\displaystyle x \left( n \right)}
:
X
(
e
j
2
π
f
)
=
F
{
x
(
n
)
}
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
x
(
k
)
e
−
j
2
π
f
k
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
x
(
k
)
e
−
j
ω
k
{\displaystyle X \left( e^{j2 \pi f} \right) = \mathcal{F} \left\{ x \left( n \right) \right\} = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) e^{-j2 \pi f k} = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) e^{-j \omega k}}
dove
ω
{\displaystyle \omega}
è la pulsazione discreta:
ω
=
2
π
f
{\displaystyle \omega=2\pi f}
.
8 La DTFT viene indicata con
X
(
e
j
2
π
f
)
{\displaystyle X \left( e^{j2 \pi f} \right)}
anziché con
X
(
f
)
{\displaystyle X \left( f \right)}
per distinguerla dalla trasformata di Fourier di un segnale continuo, ma è a tutti gli effetti in funzione della variabile continua
f
{\displaystyle f}
.
7 La DTFT è in realtà il caso particolare per
T
c
=
1
{\displaystyle T_c = 1}
della trasformata di Fourier di un segnale analogico
x
(
t
)
{\displaystyle x \left( t \right)}
campionato con frequenza di campionamento
f
c
=
1
T
c
{\displaystyle f_c = \frac{1}{T_c}}
:
X
c
(
f
)
=
F
{
∑
k
=
−
∞
+
∞
x
(
k
T
c
)
δ
(
t
−
k
T
c
)
}
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
x
(
k
T
c
)
e
−
j
2
π
f
k
T
c
{\displaystyle X_c \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k T_c \right) \delta \left( t - k T_c \right) \right\} = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k T_c \right) e^{-j2 \pi f k T_c}}
8 che è periodica di periodo
f
c
{\displaystyle f_c}
→ la DTFT è periodica di periodo:
{
f
c
=
1
T
c
=
1
ω
=
2
π
f
c
=
2
π
{\displaystyle \begin{cases} f_c = \frac{1}{T_c} = 1 \\
\omega = 2 \pi f_c = 2 \pi \end{cases}}
Inversione della DTFT (IDTFT) [ ]
10-11 Siccome la DTFT
X
(
e
j
ω
)
{\displaystyle X \left( e^{j \omega} \right)}
è periodica, i coefficienti
x
(
k
)
{\displaystyle x \left( k \right)}
possono essere intepretati come i coefficienti
μ
k
{\displaystyle \mu_k}
dello sviluppo in serie di Fourier della DTFT:
Trasformata di Fourier a tempo discreto inversa (IDTFT)
Tempo continuo
Tempo discreto
in funzione di
f
{\displaystyle f}
in funzione di
ω
{\displaystyle \omega}
x
(
t
)
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
μ
k
e
j
2
π
T
k
t
{\displaystyle x \left( t \right) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \mu_k e^{j \frac{2 \pi}{T} kt}}
μ
k
=
1
T
∫
−
T
2
+
T
2
x
(
t
)
e
−
j
2
π
T
k
t
d
t
{\displaystyle \mu_k = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{+ \frac{T}{2}} x \left( t \right) e^{-j \frac{2 \pi}{T} k t} dt}
X
(
e
j
2
π
f
)
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
x
(
k
)
e
−
j
2
π
f
k
{\displaystyle X \left( e^{j 2 \pi f} \right) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) e^{-j 2 \pi f k}}
x
(
k
)
=
∫
−
1
2
+
1
2
X
(
e
j
2
π
f
)
e
j
2
π
f
k
d
f
{\displaystyle x \left( k \right) = \int_{- \frac{1}{2}}^{+ \frac{1}{2}} X \left( e^{j 2 \pi f} \right) e^{j2 \pi f k} df}
X
(
e
j
ω
)
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
x
(
k
)
e
−
j
ω
k
{\displaystyle X \left( e^{j \omega} \right) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) e^{-j \omega k}}
x
(
k
)
=
1
2
π
∫
−
π
+
π
X
(
e
j
ω
)
e
j
ω
k
d
ω
{\displaystyle x \left( k \right) = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \pi}^{+ \pi} X \left( e^{j \omega} \right) e^{j \omega k} d \omega}
12 Verifica dell'inversione
∫
−
1
2
+
1
2
X
(
e
j
2
π
f
)
e
j
2
π
f
k
d
f
=
∫
−
1
2
+
1
2
[
∑
n
=
−
∞
+
∞
x
(
n
)
e
−
j
2
π
f
n
]
e
j
2
π
f
k
d
f
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
x
(
n
)
∫
−
1
2
+
1
2
e
−
j
2
π
f
(
n
−
k
)
d
f
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
x
(
n
)
1
−
j
2
π
(
n
−
k
)
e
−
j
2
π
f
(
n
−
k
)
|
−
1
2
+
1
2
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
x
(
n
)
1
j
2
π
(
n
−
k
)
(
e
j
π
(
n
−
k
)
−
e
−
j
π
(
n
−
k
)
)
=
{\displaystyle \int_{- \frac{1}{2}}^{+ \frac{1}{2}} X \left( e^{j 2 \pi f } \right) e^{j2 \pi f k} df = \int_{- \frac{1}{2}}^{+ \frac{1}{2}} \left[ \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \right) e^{-j2 \pi f n} \right] e^{j2 \pi f k} df = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \right) \int_{- \frac{1}{2}}^{+ {1 \over 2}} e^{-j 2 \pi f \left( n - k \right)} df = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \right) \frac{1}{-j2 \pi \left( n - k \right)} \left. e^{-j2 \pi f \left( n - k \right)} \right \vert_{- \frac{1}{2}}^{+ \frac{1}{2}} = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \right) \frac{1}{j 2 \pi \left( n - k \right)} \left( e^{j \pi \left( n - k \right)} - e^{-j \pi \left( n - k \right)} \right) =}
Per la formula di Eulero:
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
x
(
n
)
sin
(
π
(
n
−
k
)
)
π
(
n
−
k
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
x
(
n
)
s
i
n
c
(
n
−
k
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
x
(
n
)
δ
(
n
−
k
)
=
x
(
k
)
{\displaystyle = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \right) \frac{\sin \left( \pi \left( n - k \right) \right)}{\pi \left( n - k \right)} = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty } x \left( n \right) \mathrm{sinc} \left( n - k \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \right) \delta \left( n - k \right) = x \left( k \right)}
Condizioni di esistenza [ ]
Se la sequenza
x
(
k
)
{\displaystyle x \left( k \right)}
è assolutamente sommabile, allora:
∑
k
=
−
∞
+
∞
|
x
(
k
)
|
∈
R
⇒
|
X
(
e
j
ω
)
|
∈
R
∀
ω
{\displaystyle \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \left| x \left( k \right) \right| \in \R \Rightarrow \left| X \left( e^{j \omega} \right) \right| \in \R \quad \forall \omega}
15 Dimostrazione
|
X
(
e
j
ω
)
|
=
|
∑
k
=
−
∞
+
∞
x
(
k
)
e
−
j
ω
k
|
≤
∑
k
=
−
∞
+
∞
|
x
(
k
)
e
−
j
ω
k
|
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
|
x
(
k
)
|
∈
R
⇒
|
X
(
e
j
ω
)
|
∈
R
{\displaystyle \left| X \left( e^{j \omega} \right) \right| = \left| \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) e^{- j \omega k} \right| \leq \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \left| x \left( k \right) e^{- j \omega k} \right| = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \left| x \left( k \right) \right| \in \R \Rightarrow \left| X \left( e^{j \omega} \right) \right| \in \R}
15 la sua energia è finita:
∑
k
=
−
∞
+
∞
|
x
(
k
)
|
∈
R
⇒
E
x
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
|
x
(
k
)
|
2
∈
R
{\displaystyle \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \left| x \left( k \right) \right| \in \R \Rightarrow E_x = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( k \right) \right|}^2 \in \R}
Dimostrazione
E
x
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
|
x
(
k
)
|
2
≤
(
∑
k
=
−
∞
+
∞
|
x
(
k
)
|
)
2
∈
R
⇒
E
x
∈
R
{\displaystyle E_x = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( k \right) \right|}^2 \leq {\left( \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \left| x \left( k \right) \right| \right)}^2 \in \R \Rightarrow E_x \in \R}
Proprietà della DTFT [ ]
Linearità [ ]
19 La DTFT è un operatore lineare :
z
(
n
)
=
a
1
⋅
x
(
n
)
+
a
2
⋅
y
(
n
)
⟺
Z
(
e
j
2
π
f
)
=
a
1
⋅
X
(
e
j
2
π
f
)
+
a
2
⋅
Y
(
e
j
2
π
f
)
{\displaystyle z \left( n \right) = a_1 \cdot x \left( n \right) + a_2 \cdot y \left( n \right) \Longleftrightarrow Z \left( e^{j 2 \pi f} \right) = a_1 \cdot X \left( e^{j 2 \pi f} \right) + a_2 \cdot Y \left( e^{j 2 \pi f} \right)}
Ribaltamento [ ]
20 Un ribaltamento della
x
(
n
)
{\displaystyle x \left( n \right)}
corrisponde a calcolare la sua DTFT invertendo il segno della frequenza
f
{\displaystyle f}
:
z
(
n
)
=
x
(
−
n
)
⟺
Z
(
e
j
2
π
f
)
=
X
(
e
−
j
2
π
f
)
{\displaystyle z \left( n \right) = x \left( - n \right) \Longleftrightarrow Z \left( e^{j 2 \pi f} \right) = X \left( e^{- j 2 \pi f} \right)}
Ritardo [ ]
21 Una traslazione del tempo della sequenza
x
(
n
)
{\displaystyle x \left( n \right)}
corrisponde a moltiplicare la sua DTFT per un esponenziale complesso:
z
(
n
)
=
x
(
n
−
N
)
⟺
Z
(
e
j
2
π
f
)
=
X
(
e
j
2
π
f
)
e
−
j
2
π
f
N
{\displaystyle z \left( n \right) = x \left( n - N \right) \Longleftrightarrow Z \left( e^{j 2 \pi f} \right) = X \left( e^{j 2 \pi f} \right) e^{- j 2 \pi f N}}
Traslazione in frequenza (modulazione [ ]
22 Una traslazione in frequenza della DTFT di una sequenza
x
(
n
)
{\displaystyle x \left( n \right)}
corrisponde a moltiplicare la sequenza per un esponenziale complesso:
z
(
n
)
=
x
(
n
)
⋅
e
j
2
π
f
0
n
⟺
Z
(
e
j
2
π
f
)
=
X
(
e
j
2
π
(
f
−
f
0
)
)
{\displaystyle z \left( n \right) = x \left( n \right) \cdot e^{j 2 \pi f_0 n} \Longleftrightarrow Z \left( e^{j 2 \pi f } \right) = X \left( e^{j 2 \pi \left( f - f_0 \right)} \right)}
Derivazione in frequenza [ ]
23
z
(
n
)
=
n
⋅
x
(
n
)
⟺
−
2
π
j
⋅
Z
(
e
j
2
π
f
)
=
d
d
f
X
(
e
j
2
π
f
)
{\displaystyle z \left( n \right) = n \cdot x \left( n \right) \Longleftrightarrow - 2 \pi j \cdot Z \left( e^{j 2 \pi f} \right) = \frac{d }{df} X \left( e^{j 2 \pi f} \right)}
Convoluzione lineare [ ]
24 La convoluzione tra due sequenze
x
(
n
)
{\displaystyle x \left( n \right)}
e
y
(
n
)
{\displaystyle y \left( n \right)}
corrisponde al prodotto tra le singole DTFT:
z
(
n
)
=
x
(
n
)
∗
y
(
n
)
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
x
(
k
)
y
(
n
−
k
)
⟺
Z
(
e
j
2
π
f
)
=
X
(
e
j
2
π
f
)
⋅
Y
(
e
j
2
π
f
)
{\displaystyle z \left( n \right) = x \left ( n \right) * y \left( n \right) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) y \left( n - k \right) \Longleftrightarrow Z \left( e^{j 2 \pi f } \right) = X \left( e^{j2 \pi f} \right) \cdot Y \left( e^{j2 \pi f} \right)}
Prodotto [ ]
25 Il prodotto tra due sequenze
x
(
n
)
{\displaystyle x \left( n \right)}
e
y
(
n
)
{\displaystyle y \left( n \right)}
corrisponde alla convoluzione tra le singole DTFT, con estremi di integrazione
−
1
2
{\displaystyle - \tfrac{1}{2}}
e
+
1
2
{\displaystyle + \tfrac{1}{2}}
grazie al fatto che la DTFT è periodica:
z
(
n
)
=
x
(
n
)
⋅
y
(
n
)
⟺
Z
(
e
j
2
π
f
)
=
X
(
e
j
2
π
f
)
∗
Y
(
e
j
2
π
f
)
=
∫
−
1
2
+
1
2
X
(
e
j
2
π
η
)
Y
(
e
j
2
π
(
f
−
η
)
)
d
η
{\displaystyle z \left( n \right) = x \left( n \right) \cdot y \left( n \right) \Longleftrightarrow Z \left( e^{j 2 \pi f} \right) = X \left( e^{j 2 \pi f} \right) * Y \left( e^{j2 \pi f} \right) = \int_{- \frac{1}{2}}^{+ \frac{1}{2}} X \left( e^{j 2 \pi \eta} \right) Y \left( e^{j2 \pi \left( f - \eta \right) } \right) d \eta}
Relazioni di parità [ ]
28 Se la sequenza
x
(
n
)
{\displaystyle x \left( n \right)}
è reale vale la simmetria hermitiana per le sue DTFT attorno alle frequenze
f
=
0
{\displaystyle f = 0}
e
f
=
1
2
{\displaystyle f = \tfrac{1}{2}}
:
{
X
(
e
j
2
π
f
)
=
X
∗
(
e
−
j
2
π
f
)
X
(
e
j
2
π
(
f
−
1
2
)
)
=
X
∗
(
e
−
j
2
π
(
f
+
1
2
)
)
⇒
{
X
R
(
e
j
2
π
f
)
+
j
X
I
(
e
j
2
π
f
)
=
X
R
(
e
−
j
2
π
f
)
−
j
X
I
(
e
−
j
2
π
f
)
X
R
(
e
j
2
π
(
f
−
1
2
)
)
+
j
X
I
(
e
j
2
π
(
f
−
1
2
)
)
=
X
R
(
e
−
j
2
π
(
f
+
1
2
)
)
−
j
X
I
(
e
−
j
2
π
(
f
+
1
2
)
)
{\displaystyle \begin{cases} X \left( e^{j 2 \pi f} \right) = X^* \left( e^{-j2 \pi f} \right) \\
X \left( e^{j 2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right) = X^* \left( e^{- j 2 \pi \left( f + \frac{1}{2} \right)} \right) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} X_R \left( e^{j2 \pi f} \right) + j X_I \left( e^{j 2 \pi f } \right) = X_R \left( e^{-j2 \pi f} \right) - j X_I \left( e^{-j2 \pi f} \right) \\
X_R \left( e^{j2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right) + j X_I \left( e^{j 2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right) } \right) = X_R \left( e^{-j2 \pi \left( f + \frac{1}{2} \right)} \right) - j X_I \left( e^{-j2 \pi \left( f + \frac{1}{2} \right)} \right) \end{cases}}
e quindi entrambe le DTFT hanno le seguenti relazioni di parità:
27 la parte reale è pari:
{
X
R
(
e
j
2
π
f
)
=
X
R
(
e
−
j
2
π
f
)
X
R
(
e
j
2
π
(
f
−
1
2
)
)
=
X
R
(
e
−
j
2
π
(
f
+
1
2
)
)
{\displaystyle \begin{cases} X_R \left( e^{j 2 \pi f} \right) = X_R \left( e^{- j 2 \pi f} \right) \\ X_R \left( e^{j 2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right) = X_R \left( e^{- j 2 \pi \left( f + \frac{1}{2} \right)} \right) \end{cases}}
29 la parte immaginaria è dispari:
{
X
I
(
e
j
2
π
f
)
=
−
X
I
(
e
−
j
2
π
f
)
X
I
(
e
j
2
π
(
f
−
1
2
)
)
=
−
X
I
(
e
−
j
2
π
(
f
+
1
2
)
)
{\displaystyle \begin{cases} X_I \left( e^{j 2 \pi f} \right) = - X_I \left( e^{- j 2 \pi f} \right) \\ X_I \left( e^{j 2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right) = - X_I \left( e^{- j 2 \pi \left( f + \frac{1}{2} \right)} \right) \end{cases}}
il modulo è pari:
{
|
X
(
e
j
2
π
f
)
|
2
=
X
R
2
(
e
j
2
π
f
)
+
X
I
2
(
e
j
2
π
f
)
|
X
(
e
j
2
π
(
f
−
1
2
)
)
|
2
=
X
R
2
(
e
j
2
π
(
f
−
1
2
)
)
+
X
I
2
(
e
j
2
π
(
f
−
1
2
)
)
{\displaystyle \begin{cases} {\left| X \left( e^{j 2 \pi f} \right) \right|}^2 = X_R^2 \left( e^{j 2 \pi f} \right) + X_I^2 \left( e^{j 2 \pi f} \right) \\
{\left| X \left( e^{j 2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right) \right|}^2 = X_R^2 \left( e^{j 2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right) + X_I^2 \left( e^{j 2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right) \end{cases}}
la fase è dispari:
{
arg
X
I
(
e
j
2
π
f
)
=
a
r
c
t
g
X
I
(
e
j
2
π
f
)
X
R
(
e
j
2
π
f
)
arg
X
I
(
e
j
2
π
(
f
−
1
2
)
)
=
a
r
c
t
g
X
I
(
e
j
2
π
(
f
−
1
2
)
)
X
R
(
e
j
2
π
(
f
−
1
2
)
)
{\displaystyle \begin{cases} \arg{X_I \left( e^{j2 \pi f} \right)} = \mathrm{arctg} \frac{X_I \left( e^{j2 \pi f} \right)}{X_R \left( e^{j2 \pi f} \right)} \\
\arg{X_I \left( e^{j2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right)} = \mathrm{arctg} \frac{X_I \left( e^{j2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right)}{X_R \left( e^{j2 \pi \left( f - \frac{1}{2} \right)} \right)} \end{cases}}
Valore iniziale e somma dei campioni [ ]
37 Valore iniziale
x
(
n
)
|
n
=
0
=
x
(
0
)
=
∫
−
1
2
+
1
2
X
(
e
j
2
π
f
)
d
f
{\displaystyle \left. x \left( n \right) \right \vert_{n = 0} = x \left( 0 \right) = \int_{- \frac{1}{2}}^{+ \frac{1}{2}} X \left( e^{j 2 \pi f} \right) df}
Somma dei campioni
X
(
e
j
2
π
f
)
|
f
=
0
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
x
(
k
)
{\displaystyle \left. X \left( e^{j2 \pi f} \right) \right \vert_{f = 0} = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right)}
Ne consegue che sequenze a valor medio nullo hanno DTFT nulla in
f
=
0
{\displaystyle f = 0}
.
Relazione di Parseval [ ]
39 La relazione di Parseval nel dominio del tempo discreto ha estremi di integrazione finiti:
E
x
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
|
x
(
k
)
|
2
=
∫
−
1
2
+
1
2
|
X
(
e
j
2
π
f
)
|
2
d
f
{\displaystyle E_x = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( k \right) \right|}^2 = \int_{- \frac{1}{2}}^{+ \frac{1}{2}} {\left| X \left( e^{j2 \pi f} \right) \right|}^2 df}
Relazione di Parseval generalizzata
∑
k
=
−
∞
+
∞
x
(
k
)
y
∗
(
k
)
=
∫
−
1
2
+
1
2
X
(
e
j
2
π
f
)
Y
∗
(
e
j
2
π
f
)
d
f
{\displaystyle \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) y^* \left( k \right) = \int_{- \frac{1}{2}}^{+ \frac{1}{2}} X \left( e^{j2 \pi f} \right) Y^* \left( e^{j2 \pi f} \right) df}
Spettro di energia [ ]
40 Lo spettro di energia
S
x
(
f
)
{\displaystyle S_x \left( f \right)}
dà informazioni sulla distribuzione dell'energia della sequenza
x
(
n
)
{\displaystyle x \left( n \right)}
nel dominio della frequenza:
S
x
(
f
)
=
|
X
(
e
j
2
π
f
)
|
2
{\displaystyle S_x \left( f \right) = {\left| X \left( e^{j2 \pi f} \right) \right|}^2}
Proprietà
Lo spettro di energia
S
x
(
f
)
{\displaystyle S_x \left( f \right)}
:
non può essere negativo;
se
x
(
n
)
{\displaystyle x \left( n \right)}
è reale, è reale e pari;
è periodico di periodo 1.
DTFT notevoli [ ]
Sequenza
x
(
n
)
{\displaystyle x \left( n \right)}
DTFT
X
(
e
j
2
π
f
)
{\displaystyle X \left( e^{j2 \pi f} \right)}
43 Sequenza delta
δ
(
n
)
{\displaystyle \delta \left( n \right)}
1
{\displaystyle 1}
Sequenza costante
1
{\displaystyle 1}
∑
n
=
−
∞
+
∞
δ
(
f
−
n
)
<
m
a
t
h
><
b
r
/
><
m
a
t
h
>
δ
(
f
)
f
∈
[
−
1
2
,
1
2
]
{\displaystyle \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \delta \left( f - n \right)<math><br /><math>\delta \left( f \right) \quad f \in \left[ - \frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right]}
44 Sequenza segno
sgn
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {sgn} \left(n\right)}
1
+
e
−
j
2
π
f
1
−
e
−
j
2
π
f
{\displaystyle \frac{1 + e^{-j 2 \pi f}}{1 - e^{-j2 \pi f}}}
46 Sequenza gradino
u
(
n
)
{\displaystyle u \left( n \right)}
1
2
δ
(
f
)
+
1
1
−
e
−
j
2
π
f
{\displaystyle \frac{1}{2} \delta \left( f \right) + \frac{1}{1 - e^{-j2 \pi f}}}
47 Sequenza esponenziale
e
j
2
π
f
0
n
{\displaystyle e^{j2 \pi f_0 n}}
δ
(
f
−
f
0
)
{\displaystyle \delta \left( f - f_0 \right)}
Sequenza cosinusoidale
cos
(
2
π
f
0
n
)
{\displaystyle \cos \left( 2 \pi f_0 n \right)}
1
2
[
δ
(
f
−
f
0
)
+
δ
(
f
+
f
0
)
]
{\displaystyle \frac{1}{2} \left[ \delta \left( f - f_0 \right) + \delta \left( f + f_0 \right) \right]}
Sequenza sinusoidale
sin
(
2
π
f
0
n
)
{\displaystyle \sin \left( 2 \pi f_0 n \right)}
1
2
j
[
δ
(
f
−
f
0
)
−
δ
(
f
+
f
0
)
]
{\displaystyle \frac{1}{2j} \left[ \delta \left( f - f_0 \right) - \delta \left( f + f_0 \right) \right]}
48 Sequenza sinc
s
i
n
c
(
n
N
)
{\displaystyle \mathrm{sinc} \left( \frac{n}{N} \right)}
N
⋅
P
1
N
(
f
)
{\displaystyle N \cdot P_{\frac{1}{N}} \left( f \right)}
49 Sequenza porta
p
2
K
+
1
(
n
)
{\displaystyle p_{2K+1} \left( n \right)}
sin
[
π
f
(
2
K
+
1
)
]
sin
(
π
f
)
{\displaystyle \frac{\sin \left[ \pi f \left( 2K + 1 \right) \right]}{\sin \left( \pi f \right)}}
Banda di un segnale a tempo discreto [ ]
Banda assoluta [ ]
53 La banda assoluta della sequenza
x
(
n
)
{\displaystyle x \left( n \right)}
è la frequenza
B
x
≤
1
2
{\displaystyle B_x \leq \frac{1}{2}}
, quindi all'interno del singolo periodo della DTFT, per cui la DTFT
|
X
(
e
j
2
π
f
)
|
{\displaystyle \left| X \left( e^{j2 \pi f} \right) \right|}
è identicamente nulla al di fuori dell'intervallo
[
−
B
x
,
B
x
]
{\displaystyle \left[ - B_x, B_x \right]}
. È l'equivalente della banda unilatera nel dominio del tempo discreto, però si considera solamente un periodo della funzione nel dominio della frequenza (la DTFT ha sempre supporto infinito).
Banda equivalente [ ]
54 La larghezza di banda
B
eq
{\displaystyle B_{\text{eq}}}
è pari alla semilarghezza del rettangolo:
la cui altezza è pari al massimo
|
X
M
|
2
{\displaystyle {\left| X_M \right|}^2}
dello spettro di energia
S
x
(
f
)
{\displaystyle S_x \left( f \right)}
;
la cui area è uguale all'energia complessiva
E
(
S
x
)
{\displaystyle E \left( S_x \right)}
della DTFT, cioè all'area sottesa da
S
x
(
f
)
{\displaystyle S_x \left( f \right)}
all'interno del singolo periodo della DTFT:
2
B
eq
|
X
M
|
2
=
∫
−
1
2
+
1
2
S
x
(
f
)
d
f
=
∫
−
1
2
+
1
2
|
X
(
e
2
j
π
f
)
|
2
d
f
{\displaystyle 2 B_{\text{eq}} {\left| X_M \right|}^2 = \int_{- \frac{1}{2}}^{+ {1 \over 2}} S_x \left( f \right) df = \int_{- \frac{1}{2}}^{+ {1 \over 2}} {\left| X \left( e^{2j \pi f} \right) \right|}^2 df}
che per la relazione di Parseval è anche uguale all'energia della sequenza
x
(
n
)
{\displaystyle x \left( n \right)}
, data dalla somma di tutti i suoi campioni:
2
B
eq
|
X
M
|
2
=
E
x
=
∑
k
=
−
∞
+
∞
x
(
k
)
{\displaystyle 2 B_{\text{eq}} {\left| X_M \right|}^2 = E_x = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right)}
Banda B x % [ ]
55 La banda
B
x
%
{\displaystyle B_{x\%}}
è la frequenza per cui l'intervallo
[
−
B
x
%
,
B
x
%
]
{\displaystyle \left[-B_{x\%},B_{x\%}\right]}
corrisponde all'
x
%
{\displaystyle x\%}
dell'energia complessiva della sequenza
y
(
n
)
{\displaystyle y \left( n \right)}
, ovvero all'
x
%
{\displaystyle x\%}
dell'area sottesa dallo spettro di energia
S
y
(
f
)
{\displaystyle S_y \left( f \right)}
all'interno del singolo periodo della DTFT:
∫
−
B
x
%
+
B
x
%
S
y
(
f
)
d
f
=
x
100
∫
−
1
2
+
1
2
S
y
(
f
)
d
f
=
x
100
∑
k
=
−
∞
+
∞
|
y
(
n
)
|
2
{\displaystyle \int _{-B_{x\%}}^{+B_{x\%}}S_{y}\left(f\right)df={\frac {x}{100}}\int _{-{1 \over 2}}^{+{1 \over 2}}S_{y}\left(f\right)df={\frac {x}{100}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\left|y\left(n\right)\right|}^{2}}
Banda a 3 dB [ ]
56 La banda a 3 dB
B
3
dB
{\displaystyle B_{3 \text{ dB}}}
è la frequenza a cui l'ampiezza dello spettro di energia
S
x
(
f
)
{\displaystyle S_x \left( f \right)}
si riduce di 3 dB rispetto al suo massimo:
S
x
(
B
3
dB
)
=
|
X
M
|
2
2
{\displaystyle S_x \left( B_{3 \text{ dB}} \right) = \frac{{\left| X_M \right| }^2}{2}}