FANDOM


Nota disambigua
Il titolo di questa voce non è corretto per via delle caratteristiche del software MediaWiki. Il titolo corretto è A11. Stazionarietà.
Blue Glass Arrow RTL  A10. Processi casualiCrystal Clear app kfm home  Teoria ed elaborazione dei segnali (Teoria dei segnali)Blue Glass Arrow  A12. Trasformazioni e spettro di potenza
Gli appunti che seguono sono contenuti nella sottopagina /sub (modifica · cronologia · aggiorna)

StazionarietàModifica

2-3 Un processo è stazionario se la traslazione di una sua realizzazione, per un qualsiasi intervallo di tempo, produce un'altra sua possibile realizzazione, e se tutte queste realizzazioni hanno la stessa probabilità:

$ \text{se } x \left( t \right) \in \mathcal{P} \Rightarrow \begin{cases} x \left( t - t_0 \right) \in \mathcal{P} \\ P \left( x \left( t \right) \right) = P \left( x \left( t - t_0 \right) \right) \end{cases} \quad \forall t_0 $
Esempi
  • processi stazionari: sinusoide con fase variabile casuale, rumore termico
  • processi non stazionari: segnale numerico, segnale sample & hold, sinusoide con ampiezza variabile casuale, segnale determinato

Stazionarietà in senso strettoModifica

4-5-6 Siccome per la densità di probabilità congiunta $ f_{\mathbf{X}} $ vale:

$ f_{\mathbf{X}} \left( x_1 , \ldots , x_n ; t_1 , \ldots , t_n \right) = f_{\mathbf{X}} \left( x_1 , \ldots , x_n ; t_1 + t_0 , \ldots , t_n + t_0 \right) \quad \forall t_0 $

si può far coincidere il primo istante di tempo con l'origine ($ t_0 = - t_1 $) eliminando una variabile temporale → le statistiche di ordine $ n $ dipendono da $ n - 1 $ variabili, che rappresentano la differenza di tempo rispetto al primo campione, che si può sempre assumere nell'origine. Ad esempio, per un processo stazionario in senso stretto di ordine $ n $ vale:

$ \begin{array}{l} f_{X_1} \left( x_1 ; t_1 \right) = f_{X_1} \left( x_1 ; t_1 - t_1 \right) = f_{X_1} \left( x_1 ; 0 \right) \\ f_{\mathbf{X}} \left( x_1, x_2 ; t_1, t_2 \right) = f_{\mathbf{X}} \left( x_1, x_2 ; 0 , t_2 - t_1 \right) = f_{\mathbf{X}} \left( x_1 , x_2 ; 0 , \tau \right) \\ \vdots \\ f_{\mathbf{X}} \left( x_1, \ldots , x_n ; t_1, \ldots , t_n \right) = f_{\mathbf{X}} \left( x_1 , \ldots , x_n ; \tau_1 , \ldots , \tau_{n - 1} \right) \\ \end{array} $

Stazionarietà in senso lato (WSS)Modifica

  • 7 Se il processo è stazionario in senso stretto di ordine 1, la media $ m_X \left( t \right) $ è una costante e non dipende dal tempo:
$ m_X \left( t \right) = m_X $
  • Se il processo è stazionario in senso stretto di ordine 2, la funzione di autocorrelazione $ R_X \left( t_1 , t_2 \right) $ dipende solo dalla differenza $ \tau = t_2 - t_1 $:
$ R_X \left( t_ 1 , t_2 \right) = R_X \left( \tau \right) $

8 Un processo è stazionario in senso lato se la media $ m_X \left( t \right) $ è una costante, e la funzione di autocorrelazione $ R_X \left( t_1 , t_2 \right) $ dipende solo da $ \tau $:

$ \begin{cases} m_X \left( t \right) = m_X \\ R_X \left( t_ 1 , t_2 \right) = R_X \left( \tau \right) \end{cases} $

La stazionarietà in senso lato non implica la stazionarietà in senso stretto.

CiclostazionarietàModifica

19-20 Un processo è ciclostazionario se la traslazione di una sua realizzazione, per multipli di una costante finita $ T $ detta periodo di stazionarietà, produce un'altra sua possibile realizzazione, e se tutte queste realizzazioni hanno la stessa probabilità:

$ \exists T : \text{se } x \left( t \right) \in \mathcal{P} \Rightarrow \begin{cases} x \left( t - iT \right) \in \mathcal{P} \\ P \left( x \left( t \right) \right) = P \left( x \left( t - iT \right) \right) \end{cases} \quad \forall i \in \Z $
Esempi
  • processi ciclostazionari: segnale numerico, segnale sample & hold, sinusoide con ampiezza variabile casuale, segnale determinato periodico, processi stazionari
  • processi non ciclostazionari: segnale determinato non periodico

Ciclostazionarietà in senso strettoModifica

21 Un processo è ciclostazionario in senso stretto se la densità di probabilità congiunta $ f_{\mathbf{X}} $ è periodica di periodo $ T $:

$ f_{\mathbf{X}} \left( x_1 , \ldots , x_n ; t_1 , \ldots , t_n \right) = f_{\mathbf{X}} \left( x_1 , \ldots , x_n ; t_1 - iT , \ldots , t_n - iT \right) \quad \forall i \in \Z $

Ciclostazionarietà in senso latoModifica

Un processo è ciclostazionario in senso lato se la media $ m_X \left( t \right) $ è periodica, e la funzione di autocorrelazione $ R_X \left( t_1 , t_2 \right) $ è periodica rispetto a $ t_1 $ e $ t_2 $:

$ \begin{cases} m_X \left( t \right) = m_X \left( t - iT \right) \\ R_X \left( t_1 , t_2 \right) = R_X \left( t_1 - T , t_2 - iT \right) \end{cases} \quad \forall i \in \Z $

StazionarizzazioneModifica

29-30-31 La stazionarietà implica la ciclostazionarietà, ma non viceversa → l'operazione di stazionarizzazione serve per trasformare un processo ciclostazionario in un processo stazionario: si aggiungono tutte le replice mancanti all'interno del periodo di ciclostazionarietà $ T $, tramite la nuova variabile casuale $ \theta $ che corrisponde al ritardo casuale uniforme. Questa operazione modifica il processo stesso e può essere fatta solo se ha senso nel sistema considerato: tipicamente si può fare se il sistema che lo processa è stazionario (tempo invariante).

Blue Glass Arrow RTL  A10. Processi casualiCrystal Clear app kfm home  Teoria ed elaborazione dei segnali (Teoria dei segnali)Blue Glass Arrow  A12. Trasformazioni e spettro di potenza