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3 Un sistema è un blocco che trasforma un segnale x \left( t \right) in un altro segnale y \left( t \right):

y \left( t \right) = \mathcal{T} \left\{ x \left( t \right) \right\}

È una relazione deterministica: a un certo segnale x \left( t \right) corrisponde sempre il segnale y \left( t \right).

ClassificazioneModifica

Sistemi lineariModifica

5 Un sistema è lineare se vale il principio di sovrapposizione degli effetti:

\mathcal{T} \left\{ a_1 x_1 \left( t \right) + a_2 x_2 \left( t \right) \right\} = a_1 \mathcal{T} \left\{ x_1 \left( t \right) \right\} + a_2 \mathcal{T} \left\{ x_2 \left( t \right) \right\}

La trasformata di Fourier è un sistema lineare.

Sistemi tempo-invariantiModifica

6 Un sistema è tempo-invariante se un ritardo sugli ingressi si traduce in un ritardo sulle uscite:

\mathcal{T} \left\{ x \left( t - \theta \right) \right\} = y \left( t - \theta \right)

Sistemi causaliModifica

12 Un sistema è causale se l'uscita in un certo istante t_0 non dipende dagli ingressi negli istanti successivi, ma dipende solo dagli ingressi negli istanti precedenti e nell'istante corrente:

y \left( t_0 \right) = \mathcal{T} \left\{ \left. x \left( t \right) \right \vert_{- \infty}^{t_0} \right\} \quad \forall t_0

Sistemi senza memoriaModifica

7 Un sistema è senza memoria se l'uscita y \left( t \right) dipende solo dal valore assunto dall'ingresso x \left( t \right) nel dato istante di tempo t_0:

y \left( t_0 \right)  = \mathcal{T} \left\{ x \left( t_0 \right) \right\} \quad \forall t_0

Sistemi realiModifica

15 Un sistema è reale se a un ingresso reale corrisponde un'uscita reale.

16 Un sistema è fisicamente realizzabile se è causale e reale.

Sistemi stabiliModifica

17 Un sistema è stabile se a un ingresso limitato in ampiezza corrisponde un'uscita limitata in ampiezza, e per questo motivo viene detto Bounded Input Bounded Output (BIBO):

\forall x \left( t \right) : \, \left| x \left( t \right) \right| \in \R , \, \forall t \Rightarrow \left| y \left( t \right) \right| \in \R , \, \forall t

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)Modifica

8 I sistemi lineari tempo-invarianti (LTI) possono essere descritti da un'unica funzione \delta \left( t \right) che è la risposta all'impulso:

y \left( t \right) = \mathcal{T} \left\{ x \left( t \right) \right\} = x \left( t \right) * h \left( t \right)

dove:

h \left( t \right) \triangleq \mathcal{T} \left\{ \delta \left( t \right) \right\}

9 La trasformata di Fourier dell'uscita di un sistema LTI vale:

Y \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ \mathcal{T} \left\{ x \left( t \right) \right\} \right\} = H \left( f \right) X \left( f \right)

dove H \left( f \right) è detta funzione di trasferimento:

H \left( f \right) = \frac{Y \left( f \right)}{X \left( f \right)}

10 I sistemi LTI non alterano la frequenza di un segnale sinusoidale posto all'ingresso, ma solo la fase e l'ampiezza → le sinusoidi sono autofunzioni di un sistema LTI: l'uscita di una sinusoide è la sinusoide stessa moltiplicata per una costante (complessa → modulo e fase).

Sistemi LTI causaliModifica

13 La risposta all'impulso h \left( t \right) di un sistema LTI causale è nulla per t < 0:

h \left( t \right) = u \left( t \right) h \left( t \right)

Sistemi LTI realiModifica

15 La risposta all'impulso h \left( t \right) di un sistema LTI reale è reale, e la funzione di trasferimento H \left( f \right) deve avere:

  • parte reale pari;
  • parte immaginaria dispari;
  • modulo pari;
  • fase dispari.

Sistemi LTI stabiliModifica

18 Un sistema LTI è stabile se e solo se la risposta all'impulso h \left( t \right) è modulo integrabile:

\text{stabile} \, \Leftrightarrow \int \left| h \left( t \right) \right| dt \in \R \Rightarrow \left| H \left( f \right) \right| \in \R

EsempiModifica

19 Filtro RC con una porta di ingresso
Cella passa-basso
v_2 \left( t \right) = R i \left( t \right) + v_1 \left( t \right) = R C \frac{d v_1 \left( t \right)}{dt} + v_1 \left( t \right)
V_2 \left( f \right) = \left( 1 + j 2 \pi f RC \right) V_1 \left( f \right) \Rightarrow H \left( f \right) = \frac{1}{1 + j 2 \pi f RC}
20 Canale radio con eco

Un segnale radio quando viene trasmesso si propaga in tutte le direzioni, e viene riflesso dagli oggetti fisici dell'ambiente, detti scatterer. Gli echi arrivano perciò al ricevitore ognuno con un certo ritardo {\tau}_i e una certa amplificazione/attenuazione {\alpha}_i. Trasmettendo un impulso \delta, viene ricevuto un segnale con eco h \left( t \right):

h \left( t \right) = \sum_{i = 1}^P {\alpha}_i \delta \left( t -  {\tau}_i \right)

dove P è il numero di segnali eco che arrivano al ricevitore.

21 La sua trasformata H \left( f \right) vale:

H \left( f \right) = \sum_{i = 1}^P {\alpha}_i e^{-j2 \pi f {\tau}_i}

Si dimostra che il suo modulo al quadrato vale:

{\left| H \left( f \right) \right|}^2 = \sum_{i  =1}^P {\left| {\alpha}_i \right|}^2 + \sum_{i = 1}^P \sum_{\overset{\scriptstyle k=1} {\scriptstyle k>1}}^P 2 {\alpha}_i {\alpha}_k \cos{\left( 2 \pi f \Delta {\tau}_{ik}\right)}

Se P = 1, il canale non è selettivo in frequenza, cioè tutte le sinusoidi vengono moltiplicate per la stessa ampiezza:

\left| H \left( f \right) \right| = \left| {\alpha}_1 \right|

22 Se P = 2 si introduce la selettività in frequenza:

{\left| H \left( f \right) \right|}^2 = {\left| {\alpha}_1 \right|}^2 + {\left| {\alpha}_2 \right|}^2 + 2 {\alpha}_1 {\alpha}_2 \cos{\left( 2 \pi f \Delta {\tau}_{12}\right)}
Segnale radio con eco

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