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Classificazione dei sistemi a tempo discretoModifica

3 Un sistema per i segnali a tempo discreto è definito tramite la sua relazione ingresso-uscita:

y \left( n \right) = L \left[ x \left( n \right) \right]

Sistemi lineariModifica

4 Un sistema è lineare se soddisfa il principio di sovrapposizione degli effetti:

L \left[ \alpha_1 x_1 \left( n \right) + \alpha_2 x_2 \left(   n \right) \right] = \alpha_1 L \left[ x_1 \left( n \right) \right] + \alpha_2 L \left[ x_2 \left( n \right) \right]

Sistemi tempo-invarianti o stazionariModifica

7 Un sistema è tempo-invariante (o stazionario) se un ritardo/anticipo n_0 sull'ingresso x \left( n \right) si traduce in un ritardo/anticipo uguale sull'uscita y \left( n \right) senza che cambi la forma del segnale di uscita y \left( n \right):

L \left[ x \left( n - n_0 \right) \right] = y \left( n - n_0 \right) \quad \forall n_0

Sistemi causaliModifica

12 Un sistema è causale se l'uscita y \left( n \right) non dipende dai valori futuri dell'ingresso x \left( n \right), ma solo da quelli passati e da quello corrente.

14 Il comportamento di sistemi LTI causali a tempo discreto può essere descritto da un'equazione alle differenze finite e coefficienti costanti, 15 che esprime l'uscita y \left( n \right) all'istante corrente come combinazione lineare degli ingressi agli istanti passati e a quello corrente e delle uscite agli istanti passati (di solito a_0  = 1):

a_0   y \left( n \right) = - \sum_{k = 1}^{M} a_k y \left( n - k \right) + \sum_{k=0}^N b_k x \left( n - k \right) = - a_1 y \left( n - 1 \right) - a_2 y \left( n - 2 \right) - \ldots - a_M y \left( n - M \right) + b_0 x \left(  n \right) + b_1 x \left( n - 1 \right)  + b_2 x \left( n  - 2 \right) + \ldots + b_N x \left( n - N \right)
  • Il sistema è ricorsivo se l'uscita y \left( n \right) dipende da almeno un valore dell'uscita in istanti precedenti.
  • Il sistema è non ricorsivo se tutti i coefficienti a_i sono nulli.

Sistemi senza memoriaModifica

16 Un sistema è senza memoria se l'uscita y \left( n \right) dipende solo dal valore corrente dell'ingresso x \left( n \right).

17 Il sistema non ricorsivo:

y \left( n \right) = \sum_{k=0}^N a_k x \left( n - k \right)

ha memoria pari a N, perché l'uscita y \left( n \right) dipende anche da N valori passati dell'ingresso x \left( n \right).

Sistemi passiviModifica

18 Un sistema è passivo se a un ingresso x \left( n \right) con energia finita E_x corrisponde un segnale y \left( n \right) con energia E_y minore o uguale all'energia dell'ingresso:

E_y = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| y \left( n \right) \right|}^2 \leq E_x = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( n \right) \right|}^2 \in \R

Il sistema è senza perdite se la relazione vale con il segno di uguaglianza: tutta l'energia dell'ingresso x \left( n \right) viene conservata:

E_y = E_x

Caratteristiche dell'equazione alle differenzeModifica

20-21 L'equazione alle differenze di un sistema causale permette di trovare i valori di y \left( n \right) per n \geq 0, noti i valori di x \left( n \right) e le condizioni iniziali y \left( - 1 \right) , \ldots , y \left( - M \right):

y \left( n \right) = - \sum_{k = 1}^M a_k y \left( n - k \right) + \sum_{k = 0}^N b_k x \left( n  - k \right) = y_{\text{so}} \left( n \right) + y_{\text{io}} \left( n \right)

Risposta forzataModifica

y_{so} \left( n \right) è detta risposta allo stato nullo, e rappresenta l'evoluzione del sistema con condizioni iniziali nulle, tenendo conto solo degli ingressi:

y_{\text{so}} \left( n \right) = - \sum_{k = 0}^M a_k y_{\text{so}} \left( n - k \right) + \sum_{k = 0}^{N} b_k x \left( n -k \right)

Trascurare le condizioni iniziali significa studiare il comportamento del sistema a regime (sistema scarico).

Risposta liberaModifica

22 y_{\text{io}} è detta risposta all'ingresso nullo, e rappresenta l'evoluzione del sistema con ingresso nullo, ma tenendo conto delle condizioni iniziali:

\begin{cases} y_{\text{io}} \left( n \right) = - \sum_{k = 0}^M a_k y \left( n-k \right) \\
y_{\text{io}} \left( k \right) = y \left( k \right) \quad k = - M , \ldots , -1 \end{cases}

Per sistemi LTI stabili, y_{\text{io}} \left( n \right) è anche detta risposta al transitorio perché siccome l'ingresso è nullo tende a smorzarsi nel tempo fino ad annullarsi.

Risposta all'impulso di sistemi LTIModifica

24 I sistemi LTI causali scarichi sono caratterizzati da una risposta all'impulso h \left( n \right), che è la risposta del sistema quando in ingresso è presente la sequenza x \left( n \right) = \delta \left( n \right):

h \left( n \right)  = L \left[ \delta \left( n \right) \right]

27 La risposta all'impulso h \left( n \right) lega l'ingresso x \left( n \right) e l'uscita y \left( n \right) del sistema:

y \left( n  \right) = x \left( n \right) * h \left( n \right) = \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} h \left( i  \right) x \left( n - i \right)

Tutti i sistemi LTI possono essere quindi espressi in forma non ricorsiva, dove b_k = h \left( k \right).

Parte causale e parte anticausaleModifica

28 L'uscita del sistema dipende dai contributi causale (i \geq 0) e anticausale (i < 0):

y \left( n \right) = \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} h \left( i  \right) x \left( n - i \right) = \sum_{i = - \infty}^{-1} h \left( i  \right) x \left( n - i \right) + \sum_{i = 0}^{+ \infty} h \left( i  \right) x \left( n - i \right)

Siccome il sistema è causale, la parte anticausale è nulla:

y \left( n \right) = \sum_{i = 0}^{+ \infty} h \left( i \right) x \left( n - i \right)
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