3 Un sistema per i segnali a tempo discreto è definito tramite la sua relazione ingresso-uscita:
Sistemi lineari[]
4 Un sistema è lineare se soddisfa il principio di sovrapposizione degli effetti:
Sistemi tempo-invarianti o stazionari[]
7 Un sistema è tempo-invariante (o stazionario) se un ritardo/anticipo sull'ingresso si traduce in un ritardo/anticipo uguale sull'uscita senza che cambi la forma del segnale di uscita :
Sistemi causali[]
12 Un sistema è causale se l'uscita non dipende dai valori futuri dell'ingresso , ma solo da quelli passati e da quello corrente.
14 Il comportamento di sistemi LTI causali a tempo discreto può essere descritto da un'equazione alle differenze finite e coefficienti costanti, 15 che esprime l'uscita all'istante corrente come combinazione lineare degli ingressi agli istanti passati e a quello corrente e delle uscite agli istanti passati (di solito ):
Il sistema è ricorsivo se l'uscita dipende da almeno un valore dell'uscita in istanti precedenti.
Il sistema è non ricorsivo se tutti i coefficienti sono nulli.
Sistemi senza memoria[]
16 Un sistema è senza memoria se l'uscita dipende solo dal valore corrente dell'ingresso .
17 Il sistema non ricorsivo:
ha memoria pari a , perché l'uscita dipende anche da valori passati dell'ingresso .
Sistemi passivi[]
18 Un sistema è passivo se a un ingresso con energia finita corrisponde un segnale con energia minore o uguale all'energia dell'ingresso:
Il sistema è senza perdite se la relazione vale con il segno di uguaglianza: tutta l'energia dell'ingresso viene conservata:
Caratteristiche dell'equazione alle differenze[]
20-21 L'equazione alle differenze di un sistema causale permette di trovare i valori di per , noti i valori di e le condizioni iniziali :
Risposta forzata[]
è detta risposta allo stato nullo, e rappresenta l'evoluzione del sistema con condizioni iniziali nulle, tenendo conto solo degli ingressi:
Trascurare le condizioni iniziali significa studiare il comportamento del sistema a regime (sistema scarico).
Risposta libera[]
22 è detta risposta all'ingresso nullo, e rappresenta l'evoluzione del sistema con ingresso nullo, ma tenendo conto delle condizioni iniziali:
Per sistemi LTI stabili, è anche detta risposta al transitorio perché siccome l'ingresso è nullo tende a smorzarsi nel tempo fino ad annullarsi.
Risposta all'impulso di sistemi LTI[]
24 I sistemi LTI causali scarichi sono caratterizzati da una risposta all'impulso, che è la risposta del sistema quando in ingresso è presente la sequenza :
27 La risposta all'impulso lega l'ingresso e l'uscita del sistema:
25-26-27 Dimostrazione
Sfruttando il fatto che il sistema è lineare:
Sfruttando il fatto che il sistema è tempo-invariante:
Tutti i sistemi LTI possono essere quindi espressi in forma non ricorsiva, dove .
Parte causale e parte anticausale[]
28 L'uscita del sistema dipende dai contributi causale () e anticausale ():
Siccome il sistema è causale, la parte anticausale è nulla: