Il titolo di questa voce non è corretto per via delle caratteristiche del software MediaWiki . Il titolo corretto è A2. Serie e trasformata .
Base canonica [ ]
Funzione porta [ ]
8
Π
Δ
t
(
t
)
{\displaystyle {\Pi}_{\Delta t} \left( t \right)}
è la funzione porta unitaria di supporto
Δ
t
{\displaystyle \Delta t}
centrato nell'origine. Un segnale
x
(
t
)
{\displaystyle x \left( t \right)}
può essere approssimato con un segnale
x
′
(
t
)
{\displaystyle x' \left( t \right)}
costante a tratti ottenuto da una combinazione lineare di infinite porte ortogonali tra di loro (cioè con supporto disgiunto):
x
(
t
)
≈
x
′
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
x
(
n
Δ
t
)
Π
Δ
t
(
t
−
n
Δ
t
)
{\displaystyle x \left( t \right) \approx x ' \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \Delta t \right) {\Pi}_{\Delta t} \left( t - n \Delta t \right)}
Se
Δ
t
→
0
{\displaystyle \Delta t \rightarrow 0}
l'approssimazione diventa un'identità:
x
(
t
)
=
x
′
(
t
)
=
lim
Δ
t
→
0
∑
n
=
−
∞
+
∞
x
(
n
Δ
t
)
Π
Δ
t
(
t
−
n
Δ
t
)
{\displaystyle x \left( t \right) = x ' \left( t \right) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \Delta t \right) {\Pi}_{\Delta t} \left( t - n \Delta t \right)}
Seno cardinale [ ]
s
i
n
c
(
t
)
≜
sin
(
π
t
)
π
t
{\displaystyle \mathrm{sinc} \left( t \right) \triangleq \frac{\sin{\left( \pi t \right)}}{\pi t}}
Delta di Dirac [ ]
10 Definizione
x
(
0
)
=
∫
−
∞
+
∞
x
(
τ
)
δ
(
τ
)
d
τ
{\displaystyle x \left( 0 \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x \left( \tau \right) \delta \left( \tau \right) d \tau}
La delta di Dirac si può costruire come limite di varie funzioni, tra cui:
δ
(
t
)
=
lim
Δ
t
→
0
1
Δ
t
Π
Δ
t
(
t
)
=
lim
Δ
t
→
0
1
Δ
t
s
i
n
c
(
t
π
Δ
t
)
{\displaystyle \delta \left( t \right) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} {\Pi}_{\Delta t} \left( t \right) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \mathrm{sinc} \left( \frac{t}{\pi \Delta t} \right)}
dove:
s
i
n
c
(
t
π
Δ
t
)
=
sin
t
Δ
t
t
Δ
t
{\displaystyle \mathrm{sinc} \left( \frac{t}{\pi \Delta t} \right) = \frac{\sin{\frac{t}{\Delta t}}}{\frac{t}{\Delta t}}}
Proprietà
La delta di Dirac ha area unitaria:
∫
−
∞
+
∞
δ
(
τ
)
d
τ
=
1
{\displaystyle \int_{- \infty}^{+ \infty} \delta \left( \tau \right) d \tau = 1}
Traslare la delta di Dirac significa trovare tutti i campioni che assume la funzione
x
(
t
)
{\displaystyle x \left( t \right)}
:
∫
−
∞
+
∞
x
(
τ
)
δ
(
t
−
τ
)
d
τ
=
x
(
t
)
{\displaystyle \int_{- \infty}^{+ \infty} x \left( \tau \right) \delta \left( t - \tau \right) d \tau = x \left( t \right)}
11 La delta di Dirac ha energia infinita:
E
(
δ
)
→
+
∞
{\displaystyle E \left( \delta \right) \to + \infty}
Dimostrazione
δ
2
(
t
)
=
lim
Δ
t
→
0
1
Δ
t
2
Π
Δ
t
(
t
)
{\displaystyle {\delta}^2 \left( t \right) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{{\Delta t}^2} {\Pi}_{\Delta t} \left( t \right)}
E
(
δ
)
=
∫
δ
2
(
t
)
d
t
=
lim
Δ
t
→
0
1
Δ
t
2
∫
Π
Δ
t
(
t
)
d
t
=
lim
Δ
t
→
0
1
Δ
t
2
Δ
t
→
+
∞
{\displaystyle E \left( \delta \right) = \int {\delta}^2 \left( t \right) dt = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{{\Delta t}^2} \int {\Pi}_{\Delta t} \left( t \right) dt = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{{\Delta t}^2} \Delta t \to + \infty}
La radice della delta di Dirac:
δ
(
t
)
=
lim
Δ
t
→
0
1
Δ
t
Π
Δ
t
(
t
)
{\displaystyle \sqrt{\delta \left( t \right)} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\sqrt{\Delta t}} {\Pi}_{\Delta t} \left( t \right)}
ha energia unitaria:
E
(
δ
)
=
1
{\displaystyle E \left( \sqrt{\delta} \right) = 1}
Dimostrazione
E
(
δ
)
=
∫
δ
(
t
)
2
d
t
=
∫
δ
(
t
)
d
t
=
1
{\displaystyle E \left( \sqrt{\delta} \right) = \int {\sqrt {\delta \left( t \right)}}^2 dt = \int \delta \left( t \right) dt = 1}
Definizione della base canonica [ ]
12-13 L'insieme infinito e non numerabile di delta
δ
(
t
−
τ
)
{\displaystyle \delta \left( t - \tau \right)}
può essere quindi visto come una base canonica non normalizzata per l'insieme dei segnali, cioè un segnale può essere rappresentato come l'insieme dei suoi campioni:
x
(
t
)
=
∫
−
∞
+
∞
x
(
τ
)
δ
(
t
−
τ
)
d
τ
=
lim
Δ
t
→
0
∑
n
=
−
∞
+
∞
x
(
n
Δ
t
)
Δ
t
⋅
1
Δ
t
Π
Δ
t
(
t
−
n
Δ
t
)
{\displaystyle x \left( t \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x \left( \tau \right) \delta \left( t - \tau \right) d \tau = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \Delta t \right) \Delta t \cdot \frac{1}{\Delta t} {\Pi}_{\Delta t} \left( t - n \Delta t \right)}
dove gli elementi della base (infiniti e non numerabili) sono:
lim
Δ
t
→
0
1
Δ
t
Π
Δ
t
(
t
−
n
Δ
t
)
{\displaystyle \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta t} {\Pi}_{\Delta t} \left( t - n \Delta t \right)}
e i coefficienti (infiniti e non numerabili) sono:
lim
Δ
t
→
0
x
(
n
Δ
t
)
Δ
t
{\displaystyle \lim_{\Delta t \rightarrow 0} x \left( n \Delta t \right) \Delta t}
È però una base ortogonale non normalizzata perché ha energia infinita. Le radici della delta invece formano una base ortonormale:
x
(
t
)
=
lim
Δ
t
→
0
∑
n
=
−
∞
+
∞
x
(
n
Δ
t
)
Δ
t
⋅
1
Δ
t
Π
Δ
t
(
t
−
n
Δ
t
)
{\displaystyle x \left( t \right) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \Delta t \right) \sqrt{\Delta t} \cdot \frac{1}{\sqrt{\Delta t}} {\Pi}_{\Delta t} \left( t - n \Delta t \right)}
14 Energia[1]
E
(
x
)
=
∫
x
2
(
t
)
d
t
=
lim
Δ
→
0
∑
n
=
−
∞
+
∞
x
2
(
n
Δ
τ
)
Δ
τ
{\displaystyle E \left( x \right) = \int x^2 \left( t \right) dt = \lim_{\Delta \to 0} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x^2 \left( n \Delta \tau \right) \Delta \tau}
Prodotto scalare
⟨
x
,
y
⟩
=
∫
x
(
t
)
y
∗
(
t
)
d
t
=
lim
Δ
t
→
0
∑
n
=
−
∞
+
∞
x
(
n
Δ
τ
)
y
∗
(
n
Δ
τ
)
Δ
τ
{\displaystyle \langle x , y \rangle = \int x \left( t \right) y^* \left( t \right) dt = \lim_{\Delta t \to 0} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \Delta \tau \right) y^* \left( n \Delta \tau \right) \Delta \tau}
Tuttavia non conviene usare questa base perché non introduce alcuna semplificazione.
Base alternativa sinusoidale [ ]
Serie di Fourier [ ]
15 Un segnale è a supporto finito se non è nullo solo nell'intervallo
[
−
T
2
,
T
2
]
{\displaystyle \left[ - \tfrac{T}{2} , \tfrac{T}{2} \right]}
.[2] La base canonica per questa classe di segnali è l'insieme dei campioni ristretto al supporto:
x
(
t
)
=
∫
−
T
2
T
2
x
(
τ
)
δ
(
t
−
τ
)
d
τ
{\displaystyle x \left( t \right) = \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x \left( \tau \right) \delta \left( t - \tau \right) d \tau}
16-17 Esiste un'altra base ortonormale completa per tutti i segnali complessi ad energia finita e supporto finito, che è un insieme infinito ma, a differenza della base canonica, numerabile:
x
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
c
n
w
n
(
t
)
=
1
T
∑
n
=
−
∞
+
∞
⟨
x
(
t
)
,
w
n
(
t
)
⟩
e
j
2
π
T
n
t
{\displaystyle x \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_n w_n \left( t \right) = \frac{1}{\sqrt{T}} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \langle x \left( t \right) , w_n \left( t \right) \rangle e^{j \frac{2 \pi}{T} nt}}
dove gli elementi della base
w
n
(
t
)
{\displaystyle w_n \left( t \right)}
(infiniti e numerabili) sono:
w
n
(
t
)
=
1
T
e
j
2
π
T
n
t
,
−
T
2
≤
t
≤
T
2
{\displaystyle w_n \left( t \right) = \frac{1}{\sqrt{T}} e^{j \frac{2 \pi}{T} nt} \, , \quad - \frac{T}{2} \leq t \leq \frac{T}{2}}
e i coefficienti
c
n
{\displaystyle c_n}
(complessi, infiniti e numerabili) sono:
c
n
=
⟨
x
(
t
)
,
w
n
(
t
)
⟩
=
1
T
∫
−
T
2
T
2
x
(
θ
)
e
−
j
2
π
T
n
θ
d
θ
{\displaystyle c_n = \langle x \left( t \right) , w_n \left( t \right) \rangle = \frac{1}{\sqrt{T}} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x \left( \theta \right) e^{-j \frac{2\pi}{T} n \theta} d \theta}
Siccome la base è completa vale l'uguaglianza di Parseval:
E
(
x
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
|
c
n
|
2
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
|
⟨
x
(
t
)
,
w
n
(
t
)
⟩
|
2
{\displaystyle E \left( x \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| c_n \right|}^2 = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| \langle x \left( t \right) , w_n \left( t \right) \rangle \right|}^2}
Il segnale
x
(
t
)
{\displaystyle x \left( t \right)}
è in corrispondenza biunivoca con una sequenza infinita di coefficienti, e si può vedere come un vettore a infinite dimensioni:
x
(
t
)
⇔
(
c
n
)
n
=
−
∞
+
∞
{\displaystyle x \left( t \right) \Leftrightarrow {\left( c_n \right)}_{n = - \infty}^{+ \infty}}
18 La base ortonormale introdotta precedentemente è la normalizzazione della seguente base ortogonale:
x
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
μ
n
w
n
′
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
⟨
x
(
t
)
,
w
n
′
(
t
)
⟩
e
j
2
π
T
n
t
{\displaystyle x \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\mu}_n w_n' \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \langle x \left( t \right) , w_n' \left( t \right) \rangle e^{j \frac{2 \pi}{T} nt}}
dove gli elementi della base
w
n
′
(
t
)
{\displaystyle w_n' \left( t \right)}
sono:
w
n
′
(
t
)
=
T
w
n
(
t
)
=
e
j
2
π
T
n
t
,
−
T
2
≤
t
≤
T
2
{\displaystyle w_n' \left( t \right) = \sqrt{T} w_n \left( t \right) = e^{j \frac{2 \pi}{T} nt} \, , \quad - \frac{T}{2} \leq t \leq \frac{T}{2}}
e i coefficienti
μ
n
{\displaystyle {\mu}_n}
sono:
μ
n
=
1
T
c
n
=
1
T
∫
−
T
2
T
2
x
(
θ
)
e
−
j
2
π
T
n
θ
d
θ
{\displaystyle {\mu}_n = \frac{1}{\sqrt{T}} c_n = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x \left( \theta \right) e^{-j \frac{2\pi}{T} n \theta} d \theta}
Usando questa base l'energia vale:
E
(
x
)
=
T
∑
n
=
−
∞
+
∞
|
μ
n
|
2
{\displaystyle E \left( x \right) = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| {\mu}_n \right|}^2}
Trasformata di Fourier [ ]
20-21 Segnali a supporto
T
{\displaystyle T}
infinito si approssimano con la trasformata di Fourier:
x
(
t
)
=
∫
−
∞
+
∞
X
(
f
)
e
j
2
π
f
t
d
f
{\displaystyle x \left( t \right) = \int_{-\infty}^{+ \infty} X \left( f \right) e^{j2 \pi ft} df}
X
(
f
)
=
F
{
x
(
t
)
}
≜
∫
−
∞
+
∞
x
(
θ
)
e
−
j
2
π
f
θ
d
θ
{\displaystyle X \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \right\} \triangleq \int_{- \infty}^{+ \infty} x \left( \theta \right) e^{-j2 \pi f \theta} d \theta}
x
(
t
)
=
F
−
1
{
X
(
f
)
}
≜
∫
−
∞
+
∞
X
(
f
)
e
j
2
π
f
t
d
f
{\displaystyle x \left( t \right) = {\mathcal{F}}^{-1} \left\{ X \left( f \right) \right\} \triangleq \int_{- \infty}^{+ \infty} X \left( f \right) e^{j 2 \pi f t} df}
22 Condizione di esistenza[4]
Nel dominio delle funzioni, il segnale
x
(
t
)
{\displaystyle x \left( t \right)}
deve essere modulo integrabile:
∫
−
∞
+
∞
|
x
(
t
)
|
d
t
∈
R
{\displaystyle \int_{- \infty}^{+ \infty} \left| x \left( t \right) \right| dt \in \R}
Alcune trasformate fondamentali [ ]
23 Delta di Dirac
F
{
δ
(
t
)
}
=
1
⇒
δ
(
t
)
=
F
−
1
{
1
}
=
∫
−
∞
+
∞
e
j
2
π
f
t
d
f
{\displaystyle \mathcal{F} \left\{ \delta \left( t \right) \right\} = 1 \Rightarrow \delta \left( t \right) = {\mathcal{F}}^{-1} \left\{ 1 \right\} = \int_{-\infty}^{+ \infty} e^{j2 \pi ft} df}
Dimostrazione
F
{
δ
(
t
)
}
=
∫
−
∞
+
∞
δ
(
t
)
e
−
j
2
π
f
t
d
t
=
e
−
j
2
π
f
0
=
1
{\displaystyle \mathcal{F} \left\{ \delta \left( t \right) \right\} = \int_{- \infty}^{+ \infty} \delta \left( t \right) e^{-j2 \pi f t} dt = e^{-j2 \pi f 0} = 1}
24 Funzione segno
F
{
sgn
t
}
=
1
j
π
f
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{\operatorname {sgn} t\right\}={\frac {1}{j\pi f}}}
Dimostrazione
F
{
sgn
t
}
=
∫
−
∞
+
∞
sgn
t
e
−
j
2
π
f
t
d
t
=
∫
−
∞
+
∞
sgn
t
[
cos
(
2
π
f
t
)
−
j
sin
(
2
π
f
t
)
]
d
t
=
∫
−
∞
+
∞
sgn
t
cos
(
2
π
f
t
)
d
t
−
j
∫
−
∞
+
∞
sgn
t
sin
(
2
π
f
t
)
d
t
=
−
2
j
∫
0
+
∞
sin
(
2
π
f
t
)
d
t
=
j
π
f
[
cos
(
2
π
f
t
)
]
0
+
∞
=
lim
a
→
+
∞
j
a
cos
(
2
π
f
a
)
π
f
a
−
j
π
f
=
−
j
π
f
=
1
j
π
f
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{\operatorname {sgn} t\right\}=\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {sgn} te^{-j2\pi ft}dt=\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {sgn} t\left[\cos {\left(2\pi ft\right)}-j\sin {\left(2\pi ft\right)}\right]dt=\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {sgn} t\cos {\left(2\pi ft\right)}dt-j\int _{-\infty }^{+\infty }\operatorname {sgn} t\sin {\left(2\pi ft\right)}dt=-2j\int _{0}^{+\infty }\sin {\left(2\pi ft\right)}dt={\frac {j}{\pi f}}{\left[\cos {\left(2\pi ft\right)}\right]}_{0}^{+\infty }=\lim _{a\to +\infty }ja{\frac {\cos {\left(2\pi fa\right)}}{\pi fa}}-{\frac {j}{\pi f}}=-{\frac {j}{\pi f}}={\frac {1}{j\pi f}}}
25 Funzione gradino
U
(
f
)
=
F
{
u
(
t
)
}
=
1
2
δ
(
f
)
+
1
j
2
π
f
{\displaystyle U \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ u \left( t \right) \right\} = \frac{1}{2} \delta \left( f \right) + \frac{1}{j2 \pi f}}
Note [ ]
↑ Si assume un segnale
x
(
t
)
{\displaystyle x \left( t \right)}
reale.
↑ Si assume che il supporto sia simmetrico rispetto all'origine.
↑ Per semplicità non si considerano alcune condizioni al contorno.
↑ Non si considera l'estensione del dominio delle funzioni al dominio delle distribuzioni.