FANDOM


Nota disambigua
Il titolo di questa voce non è corretto per via delle caratteristiche del software MediaWiki. Il titolo corretto è A2. Serie e trasformata.
Blue Glass Arrow RTL  A1. Segnali e vettoriCrystal Clear app kfm home  Teoria ed elaborazione dei segnali (Teoria dei segnali)Blue Glass Arrow  A3. Proprietà trasformata
Gli appunti che seguono sono contenuti nella sottopagina /sub (modifica · cronologia · aggiorna)

Base canonicaModifica

Funzione portaModifica

Porta Fourier

8 {\Pi}_{\Delta t} \left( t \right) è la funzione porta unitaria di supporto \Delta t centrato nell'origine. Un segnale x \left( t \right) può essere approssimato con un segnale  x' \left( t \right) costante a tratti ottenuto da una combinazione lineare di infinite porte ortogonali tra di loro (cioè con supporto disgiunto):

x \left( t \right) \approx x ' \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \Delta t \right) {\Pi}_{\Delta t} \left( t - n \Delta t \right)

Se \Delta t \rightarrow 0 l'approssimazione diventa un'identità:

x \left( t \right) = x ' \left( t \right) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \Delta t \right) {\Pi}_{\Delta t} \left( t - n \Delta t \right)

Seno cardinaleModifica

Sinc3
\mathrm{sinc} \left( t \right) \triangleq \frac{\sin{\left( \pi t \right)}}{\pi t}

Delta di DiracModifica

10 Definizione
x \left( 0 \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x \left( \tau \right) \delta \left( \tau \right) d \tau

La delta di Dirac si può costruire come limite di varie funzioni, tra cui:

\delta \left( t \right) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} {\Pi}_{\Delta t} \left( t \right) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \mathrm{sinc} \left( \frac{t}{\pi \Delta t} \right)

dove:

\mathrm{sinc} \left( \frac{t}{\pi \Delta t} \right) = \frac{\sin{\frac{t}{\Delta t}}}{\frac{t}{\Delta t}}
Proprietà
  • La delta di Dirac ha area unitaria:
    \int_{- \infty}^{+ \infty} \delta \left( \tau \right) d \tau = 1
  • Traslare la delta di Dirac significa trovare tutti i campioni che assume la funzione x \left( t \right):
    \int_{- \infty}^{+ \infty} x \left( \tau \right) \delta \left( t - \tau \right) d \tau = x \left( t \right)
  • 11 La delta di Dirac ha energia infinita:
    E \left( \delta \right)  \to + \infty
  • La radice della delta di Dirac:
    \sqrt{\delta \left( t \right)} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\sqrt{\Delta t}} {\Pi}_{\Delta t} \left( t \right)
ha energia unitaria:
E \left( \sqrt{\delta} \right) = 1

Definizione della base canonicaModifica

12-13 L'insieme infinito e non numerabile di delta \delta \left( t - \tau \right) può essere quindi visto come una base canonica non normalizzata per l'insieme dei segnali, cioè un segnale può essere rappresentato come l'insieme dei suoi campioni:

x \left( t \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x \left( \tau \right) \delta \left( t - \tau \right) d \tau = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \Delta t \right) \Delta t \cdot \frac{1}{\Delta t} {\Pi}_{\Delta t} \left( t - n \Delta t \right)

dove gli elementi della base (infiniti e non numerabili) sono:

\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta t} {\Pi}_{\Delta t} \left( t - n \Delta t \right)

e i coefficienti (infiniti e non numerabili) sono:

\lim_{\Delta t \rightarrow 0} x \left( n \Delta t \right) \Delta t

È però una base ortogonale non normalizzata perché ha energia infinita. Le radici della delta invece formano una base ortonormale:

x \left( t \right) = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \Delta t \right) \sqrt{\Delta t} \cdot \frac{1}{\sqrt{\Delta t}} {\Pi}_{\Delta t} \left( t - n \Delta t \right)
14 Energia[1]
E \left( x \right) = \int x^2 \left( t \right) dt = \lim_{\Delta \to 0} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x^2 \left( n \Delta \tau \right) \Delta \tau
Prodotto scalare
\langle x , y \rangle = \int x \left( t \right) y^* \left( t \right) dt = \lim_{\Delta t \to 0} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n \Delta \tau \right) y^* \left( n \Delta \tau \right) \Delta \tau

Tuttavia non conviene usare questa base perché non introduce alcuna semplificazione.

Base alternativa sinusoidaleModifica

Serie di FourierModifica

15 Un segnale è a supporto finito se non è nullo solo nell'intervallo \left[ - \tfrac{T}{2} , \tfrac{T}{2} \right].[2] La base canonica per questa classe di segnali è l'insieme dei campioni ristretto al supporto:

x \left( t \right) = \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x \left( \tau \right) \delta \left( t - \tau \right) d \tau

16-17 Esiste un'altra base ortonormale completa per tutti i segnali complessi ad energia finita e supporto finito, che è un insieme infinito ma, a differenza della base canonica, numerabile:

x \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} c_n w_n \left( t \right) = \frac{1}{\sqrt{T}} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \langle x \left( t \right) , w_n \left( t \right) \rangle e^{j \frac{2 \pi}{T} nt}

dove gli elementi della base w_n \left( t \right) (infiniti e numerabili) sono:

w_n \left( t \right) = \frac{1}{\sqrt{T}} e^{j \frac{2 \pi}{T} nt} \, , \quad - \frac{T}{2} \leq t \leq \frac{T}{2}

e i coefficienti c_n (complessi, infiniti e numerabili) sono:

c_n = \langle x \left( t \right) , w_n \left( t \right) \rangle = \frac{1}{\sqrt{T}} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x \left( \theta \right) e^{-j \frac{2\pi}{T} n \theta} d \theta

Siccome la base è completa vale l'uguaglianza di Parseval:

E \left( x \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| c_n \right|}^2 = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| \langle x \left( t \right) , w_n \left( t \right) \rangle \right|}^2

Il segnale x \left( t \right) è in corrispondenza biunivoca con una sequenza infinita di coefficienti, e si può vedere come un vettore a infinite dimensioni:

x \left( t \right) \Leftrightarrow {\left( c_n \right)}_{n = - \infty}^{+ \infty}

18 La base ortonormale introdotta precedentemente è la normalizzazione della seguente base ortogonale:

x \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\mu}_n w_n' \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \langle x \left( t \right) , w_n' \left( t \right) \rangle e^{j \frac{2 \pi}{T} nt}

dove gli elementi della base w_n' \left( t \right) sono:

w_n' \left( t \right) = \sqrt{T} w_n \left( t \right) = e^{j \frac{2 \pi}{T} nt} \, , \quad - \frac{T}{2} \leq t \leq \frac{T}{2}

e i coefficienti {\mu}_n sono:

{\mu}_n = \frac{1}{\sqrt{T}} c_n =  \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x \left( \theta \right) e^{-j \frac{2\pi}{T} n \theta} d \theta

Usando questa base l'energia vale:

E \left( x \right) = T \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| {\mu}_n \right|}^2

Trasformata di FourierModifica

20-21 Segnali a supporto T infinito si approssimano con la trasformata di Fourier:

x \left( t \right) =  \int_{-\infty}^{+ \infty} X \left( f \right) e^{j2 \pi ft} df
  • X \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \right\} \triangleq \int_{- \infty}^{+ \infty} x \left( \theta \right) e^{-j2 \pi f \theta} d \theta
  • x \left( t \right) = {\mathcal{F}}^{-1} \left\{ X \left( f \right) \right\} \triangleq \int_{- \infty}^{+ \infty} X \left( f \right) e^{j 2 \pi f t} df
22 Condizione di esistenza[4]

Nel dominio delle funzioni, il segnale x \left( t \right) deve essere modulo integrabile:

\int_{- \infty}^{+ \infty} \left| x \left( t \right) \right| dt \in \R

Alcune trasformate fondamentaliModifica

23 Delta di Dirac
\mathcal{F} \left\{ \delta \left( t \right) \right\} = 1 \Rightarrow \delta \left( t \right) = {\mathcal{F}}^{-1} \left\{ 1 \right\} = \int_{-\infty}^{+ \infty} e^{j2 \pi ft} df
24 Funzione segno
\mathcal{F} \left\{ \sgn t \right\} = \frac{1}{j \pi f}
25 Funzione gradino
U \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ u \left( t \right) \right\} = \frac{1}{2} \delta \left( f \right) + \frac{1}{j2 \pi f}

NoteModifica

  1. Si assume un segnale x \left( t \right) reale.
  2. Si assume che il supporto sia simmetrico rispetto all'origine.
  3. Per semplicità non si considerano alcune condizioni al contorno.
  4. Non si considera l'estensione del dominio delle funzioni al dominio delle distribuzioni.
Blue Glass Arrow RTL  A1. Segnali e vettoriCrystal Clear app kfm home  Teoria ed elaborazione dei segnali (Teoria dei segnali)Blue Glass Arrow  A3. Proprietà trasformata

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Inoltre su FANDOM

Wiki casuale