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2 I segnali periodici:

x \left( t \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x_T \left( t - n T \right) = x \left( t + T \right)

sono un caso particolare dei segnali ciclici:

x_c \left( t \right) = \int_{n_1}^{n_2} x_T \left( t - n T \right) \neq x_c \left( t + T \right)

Trasformata di Fourier di un segnale periodicoModifica

La serie di Fourier derivata per il segnale a supporto finito:

x_T \left( t \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} {\mu}_n e^{j \frac{2 \pi}{T} nt} \, , \quad - \frac{T}{2} \leq t \leq \frac{T}{2} \, \quad {\mu}_n = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x_T \left( t \right) e^{- j \frac{2 \pi}{T} nt} dt

quando interpretata su tutto l'asse dei tempi è anche la serie di Fourier del segnale periodico x \left( t \right):

x \left( t \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} {\mu}_n e^{j \frac{2 \pi}{T} nt} \, , \quad \forall t

3 da cui si può ottenere la trasformata di Fourier del segnale periodico:

X \left( f \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\mu}_n \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{j \frac{2 \pi}{T} n t} e^{- j 2 \pi f t} dt = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\mu}_n \delta \left( f - \frac{n}{T} \right)

dove:

{\mu}_n = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x \left( t \right) e^{- j \frac{2 \pi}{T} nt } dt =

e poiché x_T \left( t \right) è il segnale x \left( t \right) troncato in \left[ 0 , T \right]:

= \frac{1}{T} \int_{- \infty}^{+ \infty} x_T \left( t \right) e^{-j \frac{2 \pi}{T} nt} dt = \frac{1}{T} X_T \left( \frac{n}{T} \right)

4 La trasformata di Fourier del segnale x \left( t \right) è quindi una sommatoria dei campioni, presi a multipli di \frac{1}{T}, della trasformata di Fourier del segnale troncato x_T \left( t \right):

X \left( f \right) = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} X_T \left( \frac{n}{T} \right) \delta \left( f - \frac{n}{T} \right)
Treno di impulsi

5 Considerando come segnale periodico il segnale campionatore, o treno di impulsi:

c_T \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \delta \left( t - n T \right)

secondo la formula appena ricavata la sua trasformata, poiché \mathcal{F} \left\{ \delta \left( t \right) \right\} = 1, è ancora un treno di impulsi:

C_T \left( f \right) = \frac{1}{T} \sum_{- \infty}^{+ \infty} \delta \left( f - \frac{n}{T} \right)

Siccome per definizione di trasformata di Fourier vale anche:

C_T \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ c_T \left( t \right) \right\} = \sum_{- \infty}^{+ \infty} e^{-j2 \pi f nT}

vale anche la seguente uguaglianza:

\int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-j2 \pi n f T} = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \delta \left( t - \frac{n}{T} \right)

6 Aumentare il periodo del treno di impulsi nel periodo del tempo corrisponde a diminuire il suo periodo nel dominio della frequenza.

Rappresentazioni di un segnale periodicoModifica

9-10 Il segnale x \left( t \right):

x \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} z \left( t - n T \right) = x \left( t + T \right)

è periodico di periodo T anche quando il segnale z \left( t \right) non è a supporto limitato in \left[ 0 , T \right], e quindi nella periodicizzazione di z \left( t \right) alcune parti che si vanno a sovrapporre. La sua trasformata di Fourier vale ancora:

x \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} z \left( t - n T \right) = z \left( t \right) * \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \delta \left( t - n T \right)
X \left( f \right) = Z \left( f \right) \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \delta \left( t - \frac{n}{T} \right) = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} Z \left( \frac{n}{T} \right) \delta \left( t - \frac{n}{T} \right)

11 La seguente rappresentazione di un segnale periodico x \left( t \right):

x \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{ + \infty} z \left( t - n T \right) = x \left( t + T \right)

non è univoca, ma possono essere utilizzati tutti i segnali z \left( t \right) che:

  • nel dominio del tempo: coincidono con il segnale troncato x_T \left( t \right) all'interno del periodo T:
z \left( t \right) : \, \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} z \left( t - n T \right) = x_T \left( t \right) \quad \forall t \in \left[ 0 , T \right]
  • 12 nel dominio della frequenza: assumono gli stessi valori della trasformata di Fourier nelle frequenze \tfrac{n}{T}, le uniche che contano nel segnale periodico:
X \left( f \right) = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} X_T \left( \frac{n}{T} \right) \delta \left( f - \frac{n}{T} \right) = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} Z \left( \frac{n}{T} \right) \delta \left( f - \frac{n}{T} \right)
Esempio - Segnale periodico costante

13 Il segnale periodico costante x \left( t \right) = 1 si può rappresentare come sommatoria di due diverse funzioni periodiche:

\begin{cases} x \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\Pi}_T \left( t - n T \right) \\ z \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\Lambda}_T \left( t - n T \right) = x \left( t \right) \end{cases}

che hanno due differenti supporti (rispettivamente T e 2T), ma che nella periodicizzazione (di egual periodo T) vengono a coincidere.

14 Nel dominio della frequenza i campioni di X_T \left( f \right) e Z \left( f \right) coincidono:

\begin{cases} X \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ {\Lambda}_T \left( t \right) \right\} = T \mathrm{sinc} \left( f T \right) \\
Z \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ {\Pi}_T \left( t \right) \right\} = T {\mathrm{sinc}}^2 \left( f T \right) \end{cases}
Segnali periodici esempio 1
15-16 Esempio

Considerando i segnali x_{2T} \left( t \right), di supporto 2T, e z \left( t \right), di supporto 4T:

\begin{cases} x_{2T} \left( t \right) = {\Pi}_T \left( t + \frac{T}{2} \right) - {\Pi}_T \left( t - \frac{T}{2} \right) \\
z \left( t \right) = {\Pi}_T \left( t + \frac{T}{2} \right) - {\Pi}_T \left( t - \frac{5T}{2} \right) \end{cases}

e campionando le loro trasformate di Fourier:

\begin{cases} X_{2T} \left( f \right) = T \mathrm{sinc} \left( f T \right) \left( e^{j  \pi f T} - e^{-j \pi f T} \right) \\
Z \left( f \right) = T \mathrm{sinc} \left( f T \right) \left( e^{j \pi f T} - e^{- j \pi f 5 T} \right) \end{cases}

nelle frequenze \tfrac{n}{2T}, i campioni coincidono:

\begin{cases} X_{2T} \left( \frac{n}{2T} \right) = T \mathrm{sinc} \left( \frac{n}{2} \right) \left( e^{j n \frac{\pi}{2}} - e^{-j n \frac{\pi}{2}} \right) = jT \mathrm{sinc} \left( \frac{n}{2} \right) \sin{\frac{\pi n}{2}} \\
Z \left( \frac{n}{2T} \right) = T \mathrm{sinc} \left( \frac{n}{2} \right) \left( e^{j n \frac{\pi}{2}} - e^{- j \pi n \frac{5}{2}} \right) = jT \mathrm{sinc} \left( \frac{n}{2} \right) \sin{\frac{\pi n}{2}} =  X_{2T} \left( \frac{n}{2T} \right) \end{cases}
Segnali periodici esempio 2

Campionamento e periodicizzazioneModifica

CampionamentoModifica

7 Moltiplicando un segnale x \left( t \right) per un treno di impulsi si ottiene:

  • nel dominio del tempo una sequenza equispaziata di suoi campioni:
    x \left( t \right) \cdot c_T \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( t \right) \delta \left( t - nT \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( nT \right) \delta \left( t - nT \right)
  • 8 nel dominio della frequenza una trasformata periodica di periodo \frac{1}{T}:
    X \left( f \right) * C_T \left( f \right) = X \left( f \right) * \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \delta \left( f - \frac{n}{T} \right) = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} X \left( f \right) * \delta \left( f - \frac{n}{T} \right) = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} X \left( f - \frac{n}{T} \right)

PeriodicizzazioneModifica

Facendo il prodotto di convoluzione di un segnale x \left( t \right) per un treno di impulsi si ottiene:

  • nel dominio del tempo un segnale periodico di periodo pari alla spaziatura degli impulsi:
    x \left( t \right) * c_T \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( t \right) * \delta \left( t - nT \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( t - n T \right)
  • 8 nel dominio della frequenza una trasformata campionata con spaziatura \frac{1}{T}:
    X \left( f \right) \cdot C_T \left( t \right) = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} X \left( f \right)  \delta \left( f - \frac{n}{T} \right) = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} X \left( \frac{n}{T} \right) \delta \left(  f - \frac{n}{T} \right)
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