Il titolo di questa voce non è corretto per via delle caratteristiche del software MediaWiki . Il titolo corretto è A6. Segnali periodici .
2 I segnali periodici:
x
(
t
)
=
∫
−
∞
+
∞
x
T
(
t
−
n
T
)
=
x
(
t
+
T
)
{\displaystyle x \left( t \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x_T \left( t - n T \right) = x \left( t + T \right)}
sono un caso particolare dei segnali ciclici :
x
c
(
t
)
=
∫
n
1
n
2
x
T
(
t
−
n
T
)
≠
x
c
(
t
+
T
)
{\displaystyle x_c \left( t \right) = \int_{n_1}^{n_2} x_T \left( t - n T \right) \neq x_c \left( t + T \right)}
Trasformata di Fourier di un segnale periodico [ ]
La serie di Fourier derivata per il segnale a supporto finito:
x
T
(
t
)
=
∫
−
∞
+
∞
μ
n
e
j
2
π
T
n
t
,
−
T
2
≤
t
≤
T
2
μ
n
=
1
T
∫
−
T
2
T
2
x
T
(
t
)
e
−
j
2
π
T
n
t
d
t
{\displaystyle x_T \left( t \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} {\mu}_n e^{j \frac{2 \pi}{T} nt} \, , \quad - \frac{T}{2} \leq t \leq \frac{T}{2} \, \quad {\mu}_n = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x_T \left( t \right) e^{- j \frac{2 \pi}{T} nt} dt}
quando interpretata su tutto l'asse dei tempi è anche la serie di Fourier del segnale periodico
x
(
t
)
{\displaystyle x \left( t \right)}
:
x
(
t
)
=
∫
−
∞
+
∞
μ
n
e
j
2
π
T
n
t
,
∀
t
{\displaystyle x \left( t \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} {\mu}_n e^{j \frac{2 \pi}{T} nt} \, , \quad \forall t}
3 da cui si può ottenere la trasformata di Fourier del segnale periodico:
X
(
f
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
μ
n
∫
−
∞
+
∞
e
j
2
π
T
n
t
e
−
j
2
π
f
t
d
t
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
μ
n
δ
(
f
−
n
T
)
{\displaystyle X \left( f \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\mu}_n \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{j \frac{2 \pi}{T} n t} e^{- j 2 \pi f t} dt = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\mu}_n \delta \left( f - \frac{n}{T} \right)}
dove:
μ
n
=
1
T
∫
−
T
2
T
2
x
(
t
)
e
−
j
2
π
T
n
t
d
t
=
{\displaystyle {\mu}_n = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x \left( t \right) e^{- j \frac{2 \pi}{T} nt } dt =}
e poiché
x
T
(
t
)
{\displaystyle x_T \left( t \right)}
è il segnale
x
(
t
)
{\displaystyle x \left( t \right)}
troncato in
[
0
,
T
]
{\displaystyle \left[ 0 , T \right]}
:
=
1
T
∫
−
∞
+
∞
x
T
(
t
)
e
−
j
2
π
T
n
t
d
t
=
1
T
X
T
(
n
T
)
{\displaystyle = \frac{1}{T} \int_{- \infty}^{+ \infty} x_T \left( t \right) e^{-j \frac{2 \pi}{T} nt} dt = \frac{1}{T} X_T \left( \frac{n}{T} \right)}
4 La trasformata di Fourier del segnale
x
(
t
)
{\displaystyle x \left( t \right)}
è quindi una sommatoria dei campioni, presi a multipli di
1
T
{\displaystyle \frac{1}{T}}
, della trasformata di Fourier del segnale troncato
x
T
(
t
)
{\displaystyle x_T \left( t \right)}
:
X
(
f
)
=
1
T
∑
n
=
−
∞
+
∞
X
T
(
n
T
)
δ
(
f
−
n
T
)
{\displaystyle X \left( f \right) = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} X_T \left( \frac{n}{T} \right) \delta \left( f - \frac{n}{T} \right)}
Treno di impulsi
5 Considerando come segnale periodico il segnale campionatore , o treno di impulsi :
c
T
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
δ
(
t
−
n
T
)
{\displaystyle c_T \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \delta \left( t - n T \right)}
secondo la formula appena ricavata la sua trasformata, poiché
F
{
δ
(
t
)
}
=
1
{\displaystyle \mathcal{F} \left\{ \delta \left( t \right) \right\} = 1}
, è ancora un treno di impulsi:
C
T
(
f
)
=
1
T
∑
−
∞
+
∞
δ
(
f
−
n
T
)
{\displaystyle C_T \left( f \right) = \frac{1}{T} \sum_{- \infty}^{+ \infty} \delta \left( f - \frac{n}{T} \right)}
Siccome per definizione di trasformata di Fourier vale anche:
C
T
(
f
)
=
F
{
c
T
(
t
)
}
=
∑
−
∞
+
∞
e
−
j
2
π
f
n
T
{\displaystyle C_T \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ c_T \left( t \right) \right\} = \sum_{- \infty}^{+ \infty} e^{-j2 \pi f nT}}
vale anche la seguente uguaglianza:
∫
−
∞
+
∞
e
−
j
2
π
n
f
T
=
1
T
∑
n
=
−
∞
+
∞
δ
(
t
−
n
T
)
{\displaystyle \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-j2 \pi n f T} = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \delta \left( t - \frac{n}{T} \right)}
6 Aumentare il periodo del treno di impulsi nel periodo del tempo corrisponde a diminuire il suo periodo nel dominio della frequenza.
Rappresentazioni di un segnale periodico [ ]
9-10 Il segnale
x
(
t
)
{\displaystyle x \left( t \right)}
:
x
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
z
(
t
−
n
T
)
=
x
(
t
+
T
)
{\displaystyle x \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{ + \infty} z \left( t - n T \right) = x \left( t + T \right)}
è periodico di periodo
T
{\displaystyle T}
anche quando il segnale
z
(
t
)
{\displaystyle z \left( t \right)}
non è a supporto limitato in
[
0
,
T
]
{\displaystyle \left[ 0 , T \right]}
, e quindi nella periodicizzazione di
z
(
t
)
{\displaystyle z \left( t \right)}
alcune parti che si vanno a sovrapporre. La sua trasformata di Fourier vale ancora:
x
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
z
(
t
−
n
T
)
=
z
(
t
)
∗
∑
n
=
−
∞
+
∞
δ
(
t
−
n
T
)
{\displaystyle x \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} z \left( t - n T \right) = z \left( t \right) * \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \delta \left( t - n T \right)}
X
(
f
)
=
Z
(
f
)
1
T
∑
n
=
−
∞
+
∞
δ
(
t
−
n
T
)
=
1
T
∑
n
=
−
∞
+
∞
Z
(
n
T
)
δ
(
t
−
n
T
)
{\displaystyle X \left( f \right) = Z \left( f \right) \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \delta \left( t - \frac{n}{T} \right) = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} Z \left( \frac{n}{T} \right) \delta \left( t - \frac{n}{T} \right)}
11 La seguente rappresentazione di un segnale periodico
x
(
t
)
{\displaystyle x \left( t \right)}
:
x
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
z
(
t
−
n
T
)
=
x
(
t
+
T
)
{\displaystyle x \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{ + \infty} z \left( t - n T \right) = x \left( t + T \right)}
non è univoca, ma possono essere utilizzati tutti i segnali
z
(
t
)
{\displaystyle z \left( t \right)}
che:
nel dominio del tempo: coincidono con il segnale troncato
x
T
(
t
)
{\displaystyle x_T \left( t \right)}
all'interno del periodo
T
{\displaystyle T}
:
z
(
t
)
:
∑
n
=
−
∞
+
∞
z
(
t
−
n
T
)
=
x
T
(
t
)
∀
t
∈
[
0
,
T
]
{\displaystyle z \left( t \right) : \, \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} z \left( t - n T \right) = x_T \left( t \right) \quad \forall t \in \left[ 0 , T \right]}
12 nel dominio della frequenza: assumono gli stessi valori della trasformata di Fourier nelle frequenze
n
T
{\displaystyle \tfrac{n}{T}}
, le uniche che contano nel segnale periodico:
X
(
f
)
=
1
T
∑
n
=
−
∞
+
∞
X
T
(
n
T
)
δ
(
f
−
n
T
)
=
1
T
∑
n
=
−
∞
+
∞
Z
(
n
T
)
δ
(
f
−
n
T
)
{\displaystyle X \left( f \right) = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} X_T \left( \frac{n}{T} \right) \delta \left( f - \frac{n}{T} \right) = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} Z \left( \frac{n}{T} \right) \delta \left( f - \frac{n}{T} \right)}
Esempio - Segnale periodico costante
13 Il segnale periodico costante
x
(
t
)
=
1
{\displaystyle x \left( t \right) = 1}
si può rappresentare come sommatoria di due diverse funzioni periodiche:
{
x
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
Π
T
(
t
−
n
T
)
z
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
Λ
T
(
t
−
n
T
)
=
x
(
t
)
{\displaystyle \begin{cases} x \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\Pi}_T \left( t - n T \right) \\ z \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\Lambda}_T \left( t - n T \right) = x \left( t \right) \end{cases}}
che hanno due differenti supporti (rispettivamente
T
{\displaystyle T}
e
2
T
{\displaystyle 2T}
), ma che nella periodicizzazione (di egual periodo
T
{\displaystyle T}
) vengono a coincidere.
14 Nel dominio della frequenza i campioni di
X
T
(
f
)
{\displaystyle X_T \left( f \right)}
e
Z
(
f
)
{\displaystyle Z \left( f \right)}
coincidono:
{
X
(
f
)
=
F
{
Λ
T
(
t
)
}
=
T
s
i
n
c
(
f
T
)
Z
(
f
)
=
F
{
Π
T
(
t
)
}
=
T
s
i
n
c
2
(
f
T
)
{\displaystyle \begin{cases} X \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ {\Lambda}_T \left( t \right) \right\} = T \mathrm{sinc} \left( f T \right) \\
Z \left( f \right) = \mathcal{F} \left\{ {\Pi}_T \left( t \right) \right\} = T {\mathrm{sinc}}^2 \left( f T \right) \end{cases}}
15-16 Esempio
Considerando i segnali
x
2
T
(
t
)
{\displaystyle x_{2T} \left( t \right)}
, di supporto
2
T
{\displaystyle 2T}
, e
z
(
t
)
{\displaystyle z \left( t \right)}
, di supporto
4
T
{\displaystyle 4T}
:
{
x
2
T
(
t
)
=
Π
T
(
t
+
T
2
)
−
Π
T
(
t
−
T
2
)
z
(
t
)
=
Π
T
(
t
+
T
2
)
−
Π
T
(
t
−
5
T
2
)
{\displaystyle \begin{cases} x_{2T} \left( t \right) = {\Pi}_T \left( t + \frac{T}{2} \right) - {\Pi}_T \left( t - \frac{T}{2} \right) \\
z \left( t \right) = {\Pi}_T \left( t + \frac{T}{2} \right) - {\Pi}_T \left( t - \frac{5T}{2} \right) \end{cases}}
e campionando le loro trasformate di Fourier:
{
X
2
T
(
f
)
=
T
s
i
n
c
(
f
T
)
(
e
j
π
f
T
−
e
−
j
π
f
T
)
Z
(
f
)
=
T
s
i
n
c
(
f
T
)
(
e
j
π
f
T
−
e
−
j
π
f
5
T
)
{\displaystyle \begin{cases} X_{2T} \left( f \right) = T \mathrm{sinc} \left( f T \right) \left( e^{j \pi f T} - e^{-j \pi f T} \right) \\
Z \left( f \right) = T \mathrm{sinc} \left( f T \right) \left( e^{j \pi f T} - e^{- j \pi f 5 T} \right) \end{cases}}
nelle frequenze
n
2
T
{\displaystyle \tfrac{n}{2T}}
, i campioni coincidono:
{
X
2
T
(
n
2
T
)
=
T
s
i
n
c
(
n
2
)
(
e
j
n
π
2
−
e
−
j
n
π
2
)
=
j
T
s
i
n
c
(
n
2
)
sin
π
n
2
Z
(
n
2
T
)
=
T
s
i
n
c
(
n
2
)
(
e
j
n
π
2
−
e
−
j
π
n
5
2
)
=
j
T
s
i
n
c
(
n
2
)
sin
π
n
2
=
X
2
T
(
n
2
T
)
{\displaystyle \begin{cases} X_{2T} \left( \frac{n}{2T} \right) = T \mathrm{sinc} \left( \frac{n}{2} \right) \left( e^{j n \frac{\pi}{2}} - e^{-j n \frac{\pi}{2}} \right) = jT \mathrm{sinc} \left( \frac{n}{2} \right) \sin{\frac{\pi n}{2}} \\
Z \left( \frac{n}{2T} \right) = T \mathrm{sinc} \left( \frac{n}{2} \right) \left( e^{j n \frac{\pi}{2}} - e^{- j \pi n \frac{5}{2}} \right) = jT \mathrm{sinc} \left( \frac{n}{2} \right) \sin{\frac{\pi n}{2}} = X_{2T} \left( \frac{n}{2T} \right) \end{cases}}
Campionamento e periodicizzazione [ ]
Campionamento [ ]
7 Moltiplicando un segnale
x
(
t
)
{\displaystyle x \left( t \right)}
per un treno di impulsi si ottiene:
nel dominio del tempo una sequenza equispaziata di suoi campioni:
x
(
t
)
⋅
c
T
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
x
(
t
)
δ
(
t
−
n
T
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
x
(
n
T
)
δ
(
t
−
n
T
)
{\displaystyle x \left( t \right) \cdot c_T \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( t \right) \delta \left( t - nT \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( nT \right) \delta \left( t - nT \right)}
8 nel dominio della frequenza una trasformata periodica di periodo
1
T
{\displaystyle \frac{1}{T}}
:
X
(
f
)
∗
C
T
(
f
)
=
X
(
f
)
∗
1
T
∑
n
=
−
∞
+
∞
δ
(
f
−
n
T
)
=
1
T
∑
n
=
−
∞
+
∞
X
(
f
)
∗
δ
(
f
−
n
T
)
=
1
T
∑
n
=
−
∞
+
∞
X
(
f
−
n
T
)
{\displaystyle X \left( f \right) * C_T \left( f \right) = X \left( f \right) * \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \delta \left( f - \frac{n}{T} \right) = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} X \left( f \right) * \delta \left( f - \frac{n}{T} \right) = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} X \left( f - \frac{n}{T} \right)}
Periodicizzazione [ ]
Facendo il prodotto di convoluzione di un segnale
x
(
t
)
{\displaystyle x \left( t \right)}
per un treno di impulsi si ottiene:
nel dominio del tempo un segnale periodico di periodo pari alla spaziatura degli impulsi:
x
(
t
)
∗
c
T
(
t
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
x
(
t
)
∗
δ
(
t
−
n
T
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
x
(
t
−
n
T
)
{\displaystyle x \left( t \right) * c_T \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( t \right) * \delta \left( t - nT \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( t - n T \right)}
8 nel dominio della frequenza una trasformata campionata con spaziatura
1
T
{\displaystyle \frac{1}{T}}
:
X
(
f
)
⋅
C
T
(
t
)
=
1
T
∑
n
=
−
∞
+
∞
X
(
f
)
δ
(
f
−
n
T
)
=
1
T
∑
n
=
−
∞
+
∞
X
(
n
T
)
δ
(
f
−
n
T
)
{\displaystyle X \left( f \right) \cdot C_T \left( t \right) = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} X \left( f \right) \delta \left( f - \frac{n}{T} \right) = \frac{1}{T} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} X \left( \frac{n}{T} \right) \delta \left( f - \frac{n}{T} \right)}