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3 Il segnale è una funzione complessa in funzione del tempo che definisce la "forma" del segnale.

5 Operazioni sui segnali
  • trasmissione: il trasporto da un punto all'altro dello spazio del segnale;
  • memorizzazione: il segnale è fruibile anche a distanza di tempo;
  • elaborazione: eliminazione del rumore, combinazione di più segnali...
Esempi di segnali
  • 4 segnale elettrico: costituito da una tensione o una corrente variante nel tempo, spesso generate da trasduttori, ossia dispositivi che permettono di misurare una grandezza scalare (es. temperatura, altezza, velocità) convertendola in un segnale elettrico;
  • 6 segnale vocale: si misura fisicamente come variazione della pressione dell'aria in funzione del tempo;
  • 15 segnale video: è più complesso perché è necessario discretizzare due delle tre variabili indipendenti x, y e t e definire le informazioni sul colore (o sulla luminosità se in bianco e nero).

17 Nel caso di un segnale video, discretizzare il tempo t corrisponde a considerare i singoli fotogrammi, e discretizzare le coordinate y significa suddividere il fotogramma in righe orizzontali.

18 In generale, una sequenza f_n o f \left( n \right) è la rappresentazione matematica discretizzata nel tempo del segnale di funzione f.

21 Il convertitore A/D serve per digitalizzare un segnale analogico:

  • 19 campionamento: il segnale viene campionato in base all'intervallo di campionamento \Delta t scelto;
  • 20 quantizzazione: il quantizzatore traduce ogni valore scalare campionato in un simbolo che appartiene a un alfabeto di cardinalità finita, cioè lo approssima al valore più vicino tra quelli scelti da un insieme finito.

22 Il processo casuale è lo strumento matematico che definisce le caratteristiche di una certa classe di segnale (vocali, video, dati...). Nel caso dei segnali vocali, teoricamente si dovrebbe registrare un certo numero statistico di parlatori e cercare di capire quali caratteristiche (come la frequenza) sono proprie di un segnale vocale, associando a ciascuna caratteristica di ciascun parlatore una probabilità.

Segnali analogici tempo-continuiModifica

28 Un segnale analogico tempo-continuo è descritto da una funzione complessa x \left( t \right), che si rappresenta graficamente nelle due parti reale x_R \left( t \right) e immaginaria x_I \left( t \right).

29 Un segnale è a supporto limitato se la sua funzione è nulla al di fuori di un intervallo finito \left( a , \, b \right) detto supporto.

30 Un segnale è ad ampiezza limitata se la funzione assume valori compresi in un intervallo finito.

35 Un segnale fisico si distingue dal segnale matematico per il fatto che è sia ad ampiezza limitata sia a supporto limitato.

31 I segnali impulsivi divergono ad un'ampiezza illimitata all'interno di un supporto infinitesimo.

Energia e potenza mediaModifica

32 L'energia di un segnale x \left( t \right) vale:

E \left( x  \right) \triangleq \int_{- \infty}^{+\infty} { \left| x  \right| }^2 dt

Se l'integrale nella definizione di energia diverge, si prende in considerazione la potenza media di un segnale:

P \left( x  \right) \triangleq \lim_{a \rightarrow + \infty} \frac {1} {2a} \int_{-a}^{a} { \left| x  \right| }^2 dt

In questo caso {\left| x  \right|}^2 = x  x^* è detta potenza istantanea.

35 Un segnale fisico ha energia finita. I segnali a energia finita hanno potenza media nulla.

PeriodicitàModifica

36 Un segnale è periodico di periodo T e funzione x \left( t \right):

x \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x_T \left( t - n T \right)

se vale la proprietà seguente:

\exists T : \, x \left( t \right) = x \left( t + T \right) \; \forall t

40 Un segnale aperiodico si può pensare come come un segnale periodico di periodo T \rightarrow + \infty.

Energia

37 L'energia E \left( x \left( t \right) \right) di un segnale periodico è infinita.[1]

Potenza media

La potenza media P \left( x \left( t \right) \right) di un segnale periodico dipende dall'energia del segnale all'interno di un singolo periodo E \left( x_T \left( t \right) \right):

P \left( x \left( t \right) \right) = \frac{1}{T} E \left( x_T \left( t \right) \right)

41 La presenza di uno o più impulsi non fa diventare infinita la potenza.

Spazio dei segnaliModifica

44 Lo spazio dei segnali può essere visto come uno spazio vettoriale: un segnale può essere costruito a partire da più segnali elementari così come un vettore può essere costruito a partire da più vettori.

DistanzaModifica

42 Uno spazio metrico è un insieme di elementi su cui è possibile definire una distanza. La distanza ha le seguenti proprietà:

  • non negativa: d \left( x , y \right) \geq 0 \; \forall x , \, y
  • simmetrica: d \left( x , y \right) = d \left( y , x \right)
  • d \left( x , y \right) = 0 \Rightarrow x = y
  • disuguaglianza triangolare: d \left( x , y \right) \leq d \left( x , y \right) + d \left( y , z \right)

Lo spazio dei segnali è uno spazio metrico.

41 La distanza è utile nel confronto di due segnali x \left( t \right) e  y \left( t \right):

d \left( x , y \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \left| x  - y \right| dt

Si usa di solito la distanza euclidea:

d \left( x , y \right) = \left \|  x - y \right \|_{2} = \sqrt{\int_{- \infty}^{+ \infty} {\left| x - y \right|}^2 dt}

Prodotto scalareModifica

53 Nello spazio dei numeri complessi il prodotto scalare è così definito:

\langle \mathbf x , \mathbf y \rangle = \langle \left( x_1 , \ldots , x_n \right) , \left( y_1 , \ldots , y_n \right) \rangle \triangleq \sum_{i = 1}^n x_i y_i^* \in \mathbb{C} , \quad \mathbf x , \mathbf y \in {\mathbb{C}}^n

Nello spazio dei segnali il prodotto scalare è così definito:

\langle x , y \rangle \triangleq \int_{- \infty}^{+ \infty} x y^* dt

NormaModifica

55 La norma nello spazio dei segnali è così definita:

\| x \| \triangleq \sqrt{\langle x , x \rangle} = \sqrt{\int_{- \infty}^{+ \infty} x x^* dt}

56 e ricordando che nei numeri complessi vale {\left| z \right|}^2 = z z^*:

\| x \| = \sqrt{\int_{- \infty}^{+ \infty} {\left| x \right|}^2 dt} = \sqrt{E \left( x \right)} \Rightarrow E \left( x \right) = {\| x \|}^2

OrtogonalitàModifica

57 Secondo la disuguaglianza di Schwarz, il modulo del prodotto scalare tra due vettori al quadrato è sempre minore o uguale del prodotto delle loro energie:

{\left| \langle \mathbf x , \mathbf y \rangle \right|}^2 \leq {\| \mathbf x \|}^2 {\| \mathbf y \|}^2

da cui deriva:

0 \leq \frac{\langle \mathbf x , \mathbf y \rangle}{\| \mathbf x \| \| \mathbf y \|} \leq 1

L'uguaglianza vale quando \mathbf x e \mathbf y sono proporzionali:

{\left| \langle \mathbf x , \mathbf y \rangle \right|}^2 = {\| \mathbf x \|}^2 {\| \mathbf y \|}^2 \Leftrightarrow \mathbf x = \alpha \mathbf y

59 L'angolo \theta tra due segnali x \left( t \right) e y \left( t \right) è così definito:

\cos{\theta} \triangleq \frac{\langle x , y \rangle}{\| x \| \| y \|}

Due segnali x \left( t \right) e y \left( t \right) si dicono ortogonali tra loro se l'angolo \theta è nullo, cioè se il loro prodotto scalare è nullo:[2]

\theta = 0 \Rightarrow \langle x , y \rangle = 0

60 L'energia della somma di due segnali x \left( t \right) e y \left( t \right) è data da:

E \left( x + y \right) = E \left( x \right) + E \left( y \right) + 2 \Re{\langle x , y \rangle}

Se i due segnali sono ortogonali:

\langle x , y \rangle = 0 \Rightarrow E \left( x + y \right) = E \left( x \right) + E \left( y \right)

Basi ortonormaliModifica

62 Una coppia di vettori \left( {\mathbf w}_i , {\mathbf w}_j \right) appartiene a una base ortonormale se e solo se:

  • {\mathbf w}_i e {\mathbf w}_j sono ortogonali tra loro:
    \langle {\mathbf w}_i , {\mathbf w}_j \rangle = 0 \quad \forall i \neq j
  • {\mathbf w}_i e {\mathbf w}_j hanno entrambi norma unitaria:
    \| {\mathbf w}_i \| = 1 \quad \forall i

Queste due condizioni possono essere riassunte da questa relazione:

\langle {\mathbf w}_i , {\mathbf w}_j \rangle = \delta_{ij}

dove \delta_{ij} è la delta di Kronecker:

\delta_{ij} = \begin{cases} 1 \quad \text{se} \; i = j \\
0 \quad \text{altrimenti} \end{cases}

63 Data una base ortonormale \left( {\mathbf w}_1, \ldots, {\mathbf w}_n \right), un generico vettore \mathbf x può essere rappresentato come combinazione lineare degli elementi della base:

\mathbf x = \left( x_1 , \ldots , x_n \right) = \sum_{i = 1}^n \langle \mathbf x , {\mathbf w}_i \rangle {\mathbf w}_i = \sum_{i = 1}^n x_i {\mathbf w}_i

71 Nello spazio dei segnali esistono infinite basi ortonormali: a partire da una qualsiasi base ortonormale, è possibile ottenere un'altra base ortonormale applicando una rotazione di un certo angolo \theta a tutti gli elementi della base. Ad esempio, nello spazio euclideo a 2 dimensioni si applica la trasformazione unitaria partendo dalla base canonica:

\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \times \begin{pmatrix} \cos{\theta} & \sin{\theta} \\ - \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix} = \left\{ \begin{pmatrix}  \cos{\theta} \\ \sin{\theta} \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} - \sin{\theta} \\ \cos{\theta} \end{pmatrix} \right\}

66 Fissata una delle possibili basi ortonormali, si può stabilire una corrispondenza biunivoca tra i segnali ed uno spazio vettoriale euclideo a n dimensioni, associando a ogni segnale x \left( t \right) il vettore \mathbf x a n dimensioni costituito dai suoi coefficienti:

x \left( t \right) = \sum_{i = 1}^n x_i w_i \left( t \right) \longleftrightarrow \mathbf x = \left( x_1 , \ldots , x_n \right)

Approssimazione di un segnaleModifica

68 Lo spazio dei segnali in realtà ha dimensione infinita, cioè per rappresentare tutti i segnali possibili sarebbe necessaria una base costituita da infiniti versori → si può semplificare approssimando un segnale generico \mathbf x a un segnale \mathbf{\hat{x}}, formato dalla combinazione lineare dei versori {\mathbf w}_i che sono basi ortonormali di uno spazio ridotto di dimensioni finite n. Si dimostra che la migliore approssimazione, corrispondente alla minima distanza euclidea dal segnale di partenza, si ottiene se i coefficienti della combinazione lineare coincidono con i prodotti scalari tra il segnale generico \mathbf x stesso e i versori {\mathbf w}_i della base:

\mathbf{\hat{x}} = \sum_{i = 1}^n \langle \mathbf x , {\mathbf w}_i \rangle {\mathbf w}_i

Semplificazione formule[3]Modifica

Definendo una base ortonormale di n elementi è possibile semplificare il calcolo del prodotto scalare, della distanza e dell'energia.

64 Prodotto scalare
\langle x , y \rangle \triangleq \int_{- \infty}^{+ \infty} x y^* dt = \sum_{i = 1}^n x_i y_i^*
63-65 Energia
E \left( x \right) \triangleq \int_{- \infty}^{+\infty} { \left| x  \right| }^2 dt = \sum_{i = 1}^n {\left| x_i \right|}^2
65 Distanza
d \left( x , y \right) \triangleq \sqrt{\int_{- \infty}^{+ \infty} {\left| x - y \right|}^2 dt} = \sqrt{\sum_{i = 1}^n {\left| x_i - y_i \right|}^2}
Definizione Segnale Vettore
Prodotto scalare \langle \mathbf x , \mathbf y \rangle \int_{- \infty}^{+ \infty} x \left( t \right) y^* \left( t \right) dt \sum_{i=1}^n x_i y_i^*
Energia E \left( \mathbf x \right) \triangleq \langle \mathbf x , \mathbf x \rangle \int {\left| x \left( t \right) \right|}^2 dt \sum_{i=1}^n {\left| x_i \right|}^2
Norma \left\| \mathbf x \right\| \triangleq \sqrt{E \left( \mathbf x \right)} = \sqrt{\langle \mathbf x,  \mathbf x \rangle} \sqrt{\int {\left| x \left( t \right) \right|}^2 dt} \sqrt{\sum_{i=1}^n {\left| x_i \right|}^2}
Distanza d \left( \mathbf x, \mathbf y \right) \triangleq \left\| \mathbf x - \mathbf y \right\| \sqrt{\int {\left| x \left( t \right) - y \left( t \right) \right|}^2 dt} \sqrt{\sum_{i=1}^n {\left| x_i - y_i \right|}^2}

Procedura di Gram-SchmidtModifica

Proiezione segnale approssimato

In questo esempio il segnale \mathbf x viene approssimato in uno spazio bidimensionale generato dai due versori {\mathbf w}_1 e {\mathbf w}_2.

69 Il segnale \mathbf x perde un po' di energia nella proiezione su \mathbf{\hat{x}}:

E \left( \mathbf e \right) = E \left( \mathbf x \right) - \sum_{i = 1}^n {\left| \langle \mathbf x , {\mathbf w}_i \rangle \right|}^2 \geq 0 \, , \quad \mathbf e = \mathbf x - \mathbf{\hat{x}}

70 Si ricava la diseguaglianza di Bessel:

E \left( \mathbf x \right) \geq \sum_{i = 1}^n {\left| \langle \mathbf x , {\mathbf w}_i \rangle \right|}^2

Se il segnale \mathbf x è descritto da una base completa, vale l'uguaglianza di Parseval:

E \left( \mathbf x \right) = \sum_{i = 1}^n {\left| \langle \mathbf x , {\mathbf w}_i \rangle \right|}^2

72-73 In uno spazio vettoriale a M dimensioni, cioè di cardinalità M, si ha un insieme finito di vettori \left\{ {\mathbf x}_1 , {\mathbf x}_2 , \ldots , {\mathbf x}_M \right\}. La procedura di Gram-Schmidt permette di trovare il minimo numero N \leq M, detto dimensionalità, di versori \left\{ {\mathbf w}_1 , {\mathbf w}_2 , \ldots , {\mathbf w}_N \right\}, ortonormali tra di loro, necessario per formare una base per questi vettori:

\begin{array}{l}
{\mathbf w}_1 \cdot \| {\mathbf{\hat{w}}}_1 \| = {\mathbf{\hat{w}}}_1 = {\mathbf x}_1 \\
{\mathbf w}_2 \cdot \| {\mathbf{\hat{w}}}_2 \| = {\mathbf{\hat{w}}}_2 = {\mathbf x}_2 - {\mathbf{\hat{x}}}_2 = {\mathbf x}_2 - \langle {\mathbf x}_2 , {\mathbf w}_1 \rangle {\mathbf w}_1 \\
\vdots \\
{\mathbf w}_i \cdot \| {\mathbf{\hat{w}}}_i \| = {\mathbf{\hat{w}}}_i = {\mathbf x}_i - {\mathbf{\hat{x}}}_i = {\mathbf x}_i - \sum_{k=1}^{i - 1} \langle {\mathbf x}_i , {\mathbf w}_k \rangle {\mathbf w}_k \\
\vdots \\
{\mathbf w}_N \cdot \| {\mathbf{\hat{w}}}_N \| = {\mathbf{\hat{w}}}_2 = {\mathbf x}_N - {\mathbf{\hat{x}}}_N = {\mathbf x}_N - \sum_{k=1}^{N - 1} \langle {\mathbf x}_N , {\mathbf w}_k \rangle {\mathbf w}_k
\end{array}

75 L'algoritmo termina alla N-esima iterazione quando il vettore errore \mathbf e è nullo, ovvero quando il vettore proiezione </math>\mathbf{\hat{x}}_N</math> è linearmente dipendente rispetto al vettore {\mathbf{x}}_N e non si genera un nuovo versore. Se N < M significa che si è riusciti a introdurre una semplificazione. Cambiando l'ordine dei vettori considerati si possono ottenere versori diversi, ma la dimensionalità N non varia.

74 Esempio

Si considerano due vettori {\mathbf x}_1 e {\mathbf x}_2 nello spazio bidimensionale (M = 2):

Gram-Schmidt1

1) viene scelto per primo il vettore {\mathbf x}_1:

Gram-Schmidt2

2) viene scelto per primo il vettore {\mathbf x}_2:

Gram-Schmidt3

NoteModifica

  1. Nel caso ultraparticolare di un segnale identicamente nullo, l'energia converge a 0.
  2. Si suppone che le energie di x \left( t \right) e y \left( t \right) non siano identicamente nulle.
  3. In questa sezione si ritorna temporaneamente per comodità alla vecchia notazione per i segnali.

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