Teoria ed elaborazione dei segnali:Segnali e vettori

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Teoria ed elaborazione dei segnali (Teoria dei segnali)	A2. Serie e trasformata

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3 Il segnale è una funzione complessa in funzione del tempo che definisce la "forma" del segnale.

5 Operazioni sui segnali

• trasmissione: il trasporto da un punto all'altro dello spazio del segnale;
• memorizzazione: il segnale è fruibile anche a distanza di tempo;
• elaborazione: eliminazione del rumore, combinazione di più segnali...

Esempi di segnali

• 4 segnale elettrico: costituito da una tensione o una corrente variante nel tempo, spesso generate da trasduttori, ossia dispositivi che permettono di misurare una grandezza scalare (es. temperatura, altezza, velocità) convertendola in un segnale elettrico;
• 6 segnale vocale: si misura fisicamente come variazione della pressione dell'aria in funzione del tempo;
• 15 segnale video: è più complesso perché è necessario discretizzare due delle tre variabili indipendenti x, y e t e definire le informazioni sul colore (o sulla luminosità se in bianco e nero).

17 Nel caso di un segnale video, discretizzare il tempo t corrisponde a considerare i singoli fotogrammi, e discretizzare le coordinate y significa suddividere il fotogramma in righe orizzontali.

18 In generale, una sequenza $f_n$ o $f \left( n \right)$ è la rappresentazione matematica discretizzata nel tempo del segnale di funzione $f$.

21 Il convertitore A/D serve per digitalizzare un segnale analogico:

• 19 campionamento: il segnale viene campionato in base all'intervallo di campionamento $\Delta t$ scelto;
• 20 quantizzazione: il quantizzatore traduce ogni valore scalare campionato in un simbolo che appartiene a un alfabeto di cardinalità finita, cioè lo approssima al valore più vicino tra quelli scelti da un insieme finito.

22 Il processo casuale è lo strumento matematico che definisce le caratteristiche di una certa classe di segnale (vocali, video, dati...). Nel caso dei segnali vocali, teoricamente si dovrebbe registrare un certo numero statistico di parlatori e cercare di capire quali caratteristiche (come la frequenza) sono proprie di un segnale vocale, associando a ciascuna caratteristica di ciascun parlatore una probabilità.

Segnali analogici tempo-continui

28 Un segnale analogico tempo-continuo è descritto da una funzione complessa $x \left( t \right)$, che si rappresenta graficamente nelle due parti reale $x_R \left( t \right)$ e immaginaria $x_I \left( t \right)$.

29 Un segnale è a supporto limitato se la sua funzione è nulla al di fuori di un intervallo finito $\left( a , \, b \right)$ detto supporto.

30 Un segnale è ad ampiezza limitata se la funzione assume valori compresi in un intervallo finito.

35 Un segnale fisico si distingue dal segnale matematico per il fatto che è sia ad ampiezza limitata sia a supporto limitato.

31 I segnali impulsivi divergono ad un'ampiezza illimitata all'interno di un supporto infinitesimo.

Energia e potenza media

32 L'energia di un segnale $x \left( t \right)$ vale:

$E \left( x \right) \triangleq \int_{- \infty}^{+\infty} { \left| x \right| }^2 dt$

Se l'integrale nella definizione di energia diverge, si prende in considerazione la potenza media di un segnale:

$P \left( x \right) \triangleq \lim_{a \rightarrow + \infty} \frac {1} {2a} \int_{-a}^{a} { \left| x \right| }^2 dt$

In questo caso ${\left| x \right|}^2 = x x^*$ è detta potenza istantanea.

35 Un segnale fisico ha energia finita. I segnali a energia finita hanno potenza media nulla.

Periodicità

36 Un segnale è periodico di periodo $T$ e funzione $x \left( t \right)$:

$x \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x_T \left( t - n T \right)$

se vale la proprietà seguente:

$\exists T : \, x \left( t \right) = x \left( t + T \right) \; \forall t$

40 Un segnale aperiodico si può pensare come come un segnale periodico di periodo $T \rightarrow + \infty$.

Energia

37 L'energia $E \left( x \left( t \right) \right)$ di un segnale periodico è infinita.

Dimostrazione

$E \left( x \left( t \right) \right) \triangleq \int_{- \infty}^{+\infty} { \left| x \left( t \right) \right| }^2 dt = \int_{- \infty}^{+ \infty} {\left| \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x_T \left( t - n T \right) \right|}^2 dt = \int_{- \infty}^{+ \infty} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x_T \left( t - nT \right) \sum_{m = - \infty}^{+ \infty} x_T^* \left( t - mT \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \sum_{m = - \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} x_T \left( t - nT \right) x_T^* \left( t - mT \right) = \sum_{n = m = - \infty}^ {+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} x_T \left( t - n T \right) x_T^* \left( t - m T \right) dt + \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \sum_{m \neq n} \int_{- \infty}^{+ \infty} x_T \left( t - n T \right) x_T^* \left( t - mT \right) dt =$

Siccome il prodotto nel secondo integrale è sempre zero perché le due funzioni hanno supporto disgiunto:

$= \sum_{n = - \infty}^ {+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} x_T \left( t - n T \right) x_T^* \left( t - n T \right) dt + 0 = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} {\left| x_T \left( t - n T \right) \right|}^2 dt =$

Poiché $x \left( t \right)$ è un segnale periodico:

$= \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} E \left( x_T \left( t \right) \right) \rightarrow + \infty$

Potenza media

La potenza media $P \left( x \left( t \right) \right)$ di un segnale periodico dipende dall'energia del segnale all'interno di un singolo periodo $E \left( x_T \left( t \right) \right)$:

$P \left( x \left( t \right) \right) = \frac{1}{T} E \left( x_T \left( t \right) \right)$

Dimostrazione

$P \left( x \left( t \right) \right) = \lim_{m \rightarrow + \infty} \frac{1}{2mT} \int_{- m T}^{m T} {\left| \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x_T \left( t - n T \right) \right|}^2 dt = \lim_{m \rightarrow + \infty} \frac{1}{2mT} \sum_{n = -m}^{m - 1} \int_{-mT}^{mT} {\left| x_T \left( t - n T \right) \right|}^2 dt = \lim_{m \rightarrow + \infty} \frac{1}{2mT} \sum_{n = -m}^{m - 1} E \left( x_T \left( t \right) \right) =$

Poiché se per esempio $m = 1$ si ha $\sum_{n = -1}^{0} E \left( x_T \left( t \right) \right) = 2 E \left( x_T \left( t \right) \right)$:

$= \lim_{m \rightarrow + \infty} \frac{2m E \left( x_T \left( t \right) \right)}{2mT} = \frac{1}{T} E \left( x_T \left( t \right) \right)$

41 La presenza di uno o più impulsi non fa diventare infinita la potenza.

Spazio dei segnali

44 Lo spazio dei segnali può essere visto come uno spazio vettoriale: un segnale può essere costruito a partire da più segnali elementari così come un vettore può essere costruito a partire da più vettori.

Distanza

42 Uno spazio metrico è un insieme di elementi su cui è possibile definire una distanza. La distanza ha le seguenti proprietà:

• non negativa: $d \left( x , y \right) \geq 0 \; \forall x , \, y$
• simmetrica: $d \left( x , y \right) = d \left( y , x \right)$
• $d \left( x , y \right) = 0 \Rightarrow x = y$
• disuguaglianza triangolare: $d \left( x , y \right) \leq d \left( x , y \right) + d \left( y , z \right)$

Lo spazio dei segnali è uno spazio metrico.

41 La distanza è utile nel confronto di due segnali $x \left( t \right)$ e $y \left( t \right)$:

$d \left( x , y \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} \left| x - y \right| dt$

Si usa di solito la distanza euclidea:

$d \left( x , y \right) = \left \| x - y \right \|_{2} = \sqrt{\int_{- \infty}^{+ \infty} {\left| x - y \right|}^2 dt}$

Prodotto scalare

53 Nello spazio dei numeri complessi il prodotto scalare è così definito:

$\langle \mathbf x , \mathbf y \rangle = \langle \left( x_1 , \ldots , x_n \right) , \left( y_1 , \ldots , y_n \right) \rangle \triangleq \sum_{i = 1}^n x_i y_i^* \in \mathbb{C} , \quad \mathbf x , \mathbf y \in {\mathbb{C}}^n$

Nello spazio dei segnali il prodotto scalare è così definito:

$\langle x , y \rangle \triangleq \int_{- \infty}^{+ \infty} x y^* dt$

Norma

55 La norma nello spazio dei segnali è così definita:

$\| x \| \triangleq \sqrt{\langle x , x \rangle} = \sqrt{\int_{- \infty}^{+ \infty} x x^* dt}$

56 e ricordando che nei numeri complessi vale ${\left| z \right|}^2 = z z^*$:

$\| x \| = \sqrt{\int_{- \infty}^{+ \infty} {\left| x \right|}^2 dt} = \sqrt{E \left( x \right)} \Rightarrow E \left( x \right) = {\| x \|}^2$

Ortogonalità

57 Secondo la disuguaglianza di Schwarz, il modulo del prodotto scalare tra due vettori al quadrato è sempre minore o uguale del prodotto delle loro energie:

${\left| \langle \mathbf x , \mathbf y \rangle \right|}^2 \leq {\| \mathbf x \|}^2 {\| \mathbf y \|}^2$

da cui deriva:

$0 \leq \frac{\langle \mathbf x , \mathbf y \rangle}{\| \mathbf x \| \| \mathbf y \|} \leq 1$

L'uguaglianza vale quando $\mathbf{x}$ e $\mathbf{y}$ sono proporzionali:

${\left| \langle \mathbf x , \mathbf y \rangle \right|}^2 = {\| \mathbf x \|}^2 {\| \mathbf y \|}^2 \Leftrightarrow \mathbf x = \alpha \mathbf y$

59 L'angolo $\theta$ tra due segnali $x \left( t \right)$ e $y \left( t \right)$ è così definito:

$\cos{\theta} \triangleq \frac{\langle x , y \rangle}{\| x \| \| y \|}$

Due segnali $x \left( t \right)$ e $y \left( t \right)$ si dicono ortogonali tra loro se l'angolo $\theta$ è nullo, cioè se il loro prodotto scalare è nullo:

$\theta = 0 \Rightarrow \langle x , y \rangle = 0$

60 L'energia della somma di due segnali $x \left( t \right)$ e $y \left( t \right)$ è data da:

$E \left( x + y \right) = E \left( x \right) + E \left( y \right) + 2 \Re{\langle x , y \rangle}$

Dimostrazione

${\| \mathbf x + \mathbf y \|}^2 = \langle \mathbf x + \mathbf y , \mathbf x + \mathbf y \rangle = \langle \mathbf x , \mathbf x \rangle + \langle \mathbf y , \mathbf y \rangle + \langle \mathbf x , \mathbf y \rangle + \langle \mathbf y , \mathbf x \rangle = {\| \mathbf x \|}^2 + {\| \mathbf y \|}^2 + \langle \mathbf x , \mathbf y \rangle + {\langle \mathbf x , \mathbf y \rangle}^* = {\| \mathbf x \|}^2 + {\| \mathbf y \|}^2 + 2 \Re{\left[ \langle \mathbf x , \mathbf y \rangle \right]}$

Se i due segnali sono ortogonali:

$\langle x , y \rangle = 0 \Rightarrow E \left( x + y \right) = E \left( x \right) + E \left( y \right)$

Basi ortonormali

62 Una coppia di vettori $\left( {\mathbf w}_i , {\mathbf w}_j \right)$ appartiene a una base ortonormale se e solo se:

• ${\mathbf w}_i$ e ${\mathbf w}_j$ sono ortogonali tra loro:

  $\langle {\mathbf w}_i , {\mathbf w}_j \rangle = 0 \quad \forall i \neq j$

• ${\mathbf w}_i$ e ${\mathbf w}_j$ hanno entrambi norma unitaria:

  $\| {\mathbf w}_i \| = 1 \quad \forall i$

Queste due condizioni possono essere riassunte da questa relazione:

$\langle {\mathbf w}_i , {\mathbf w}_j \rangle = \delta_{ij}$

dove $\delta_{ij}$ è la delta di Kronecker:

$\delta_{ij} = \begin{cases} 1 \quad \text{se} \; i = j \\ 0 \quad \text{altrimenti} \end{cases}$

63 Data una base ortonormale $\left( {\mathbf w}_1, \ldots, {\mathbf w}_n \right)$, un generico vettore $\mathbf{x}$ può essere rappresentato come combinazione lineare degli elementi della base:

$\mathbf x = \left( x_1 , \ldots , x_n \right) = \sum_{i = 1}^n \langle \mathbf x , {\mathbf w}_i \rangle {\mathbf w}_i = \sum_{i = 1}^n x_i {\mathbf w}_i$

71 Nello spazio dei segnali esistono infinite basi ortonormali: a partire da una qualsiasi base ortonormale, è possibile ottenere un'altra base ortonormale applicando una rotazione di un certo angolo $\theta$ a tutti gli elementi della base. Ad esempio, nello spazio euclideo a 2 dimensioni si applica la trasformazione unitaria partendo dalla base canonica:

$\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \times \begin{pmatrix} \cos{\theta} & \sin{\theta} \\ - \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{pmatrix} = \left\{ \begin{pmatrix} \cos{\theta} \\ \sin{\theta} \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} - \sin{\theta} \\ \cos{\theta} \end{pmatrix} \right\}$

66 Fissata una delle possibili basi ortonormali, si può stabilire una corrispondenza biunivoca tra i segnali ed uno spazio vettoriale euclideo a $n$ dimensioni, associando a ogni segnale $x \left( t \right)$ il vettore $\mathbf{x}$ a $n$ dimensioni costituito dai suoi coefficienti:

$x \left( t \right) = \sum_{i = 1}^n x_i w_i \left( t \right) \longleftrightarrow \mathbf x = \left( x_1 , \ldots , x_n \right)$

Approssimazione di un segnale

68 Lo spazio dei segnali in realtà ha dimensione infinita, cioè per rappresentare tutti i segnali possibili sarebbe necessaria una base costituita da infiniti versori → si può semplificare approssimando un segnale generico $\mathbf{x}$ a un segnale $\mathbf {\hat{x}}$, formato dalla combinazione lineare dei versori ${\mathbf w}_i$ che sono basi ortonormali di uno spazio ridotto di dimensioni finite $n$. Si dimostra che la migliore approssimazione, corrispondente alla minima distanza euclidea dal segnale di partenza, si ottiene se i coefficienti della combinazione lineare coincidono con i prodotti scalari tra il segnale generico $\mathbf{x}$ stesso e i versori ${\mathbf w}_i$ della base:

$\mathbf{\hat{x}} = \sum_{i = 1}^n \langle \mathbf x , {\mathbf w}_i \rangle {\mathbf w}_i$

Semplificazione formule

Definendo una base ortonormale di $n$ elementi è possibile semplificare il calcolo del prodotto scalare, della distanza e dell'energia.

64 Prodotto scalare

$\langle x , y \rangle \triangleq \int_{- \infty}^{+ \infty} x y^* dt = \sum_{i = 1}^n x_i y_i^*$

Dimostrazione

$\langle x \left( t \right), y \left( t \right) \rangle = \langle \sum_{i = 1}^n x_i w_i \left( t \right) , \sum_{j = 1}^n y_j w_j \left( t \right) \rangle = \int \sum_{i = 1}^n x_i^* w_i^* \left( t \right) \sum_{j = 1}^n y_j^* w_j^* \left( t \right) dt =$

Per linearità:

$= \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n x_i y_j^* \int w_i \left( t \right) w_j^* \left( t \right) dt = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n x_i y_j^* \delta_{ij} = \sum_{i = 1}^n x_i y_i^*$

63-65 Energia

$E \left( x \right) \triangleq \int_{- \infty}^{+\infty} { \left| x \right| }^2 dt = \sum_{i = 1}^n {\left| x_i \right|}^2$

Dimostrazione

$E \left( x \right) = E \left( \sum_{i = 1}^n \langle x , w_i \rangle w_i \right) =$

Ricordando la proprietà dell'energia della somma di segnali ortogonali:

$= \sum_{i = 1}^n E \left( \langle x , w_i \rangle w_i \right) =$

Portando fuori una costante dall'integrale della definizione di energia:

$= \sum_{i = 1}^n {\left| \langle x , w_i \rangle \right|}^2 E \left( w_i \right) =$

Ricordando che i segnali $w_i \left( t \right)$ hanno norma unitaria:

$= \sum_{i = 1}^n {\left| \langle x , w_i \rangle \right|}^2 = \sum_{i = 1}^n {\left| x_i \right|}^2$

65 Distanza

$d \left( x , y \right) \triangleq \sqrt{\int_{- \infty}^{+ \infty} {\left| x - y \right|}^2 dt} = \sqrt{\sum_{i = 1}^n {\left| x_i - y_i \right|}^2}$

	Definizione	Segnale	Vettore
Prodotto scalare	$\langle\mathbf x,\mathbf y\rangle$	$\int_{- \infty}^{+ \infty} x \left( t \right) y^* \left( t \right) dt$	$\sum_{i=1}^n x_i y_i^*$
Energia	$E \left( \mathbf x \right) \triangleq \langle \mathbf x , \mathbf x \rangle$	$\int {\left| x \left( t \right) \right|}^2 dt$	$\sum_{i=1}^n {\left| x_i \right|}^2$
Norma	$\left\| \mathbf x \right\| \triangleq \sqrt{E \left( \mathbf x \right)} = \sqrt{\langle \mathbf x, \mathbf x \rangle}$	$\sqrt{\int {\left| x \left( t \right) \right|}^2 dt}$	$\sqrt{\sum_{i=1}^n {\left| x_i \right|}^2}$
Distanza	$d \left( \mathbf x, \mathbf y \right) \triangleq \left\| \mathbf x - \mathbf y \right\|$	$\sqrt{\int {\left| x \left( t \right) - y \left( t \right) \right|}^2 dt}$	$\sqrt{\sum_{i=1}^n {\left| x_i - y_i \right|}^2}$

Procedura di Gram-Schmidt

In questo esempio il segnale $\mathbf{x}$ viene approssimato in uno spazio bidimensionale generato dai due versori ${\mathbf w}_1$ e ${\mathbf w}_2$.

69 Il segnale $\mathbf{x}$ perde un po' di energia nella proiezione su $\mathbf {\hat{x}}$:

$E \left( \mathbf e \right) = E \left( \mathbf x \right) - \sum_{i = 1}^n {\left| \langle \mathbf x , {\mathbf w}_i \rangle \right|}^2 \geq 0 \, , \quad \mathbf e = \mathbf x - \mathbf{\hat{x}}$

Dimostrazione

$E \left( \mathbf x \right) = E \left( \mathbf e + \mathbf {\hat{x}} \right) =$

Poiché il segnale errore $\mathbf e$, che è il segnale differenza, è ortogonale al segnale approssimante $\mathbf {\hat{x}}$:

$= E \left( \mathbf e \right) + E \left( \mathbf{\hat{x}} \right) = E \left( \mathbf e \right) + \sum_{i = 1}^n {\left| \langle \mathbf x , {\mathbf w}_i \rangle \right|}^2$

70 Si ricava la diseguaglianza di Bessel:

$E \left( \mathbf x \right) \geq \sum_{i = 1}^n {\left| \langle \mathbf x , {\mathbf w}_i \rangle \right|}^2$

Se il segnale $\mathbf{x}$ è descritto da una base completa, vale l'uguaglianza di Parseval:

$E \left( \mathbf x \right) = \sum_{i = 1}^n {\left| \langle \mathbf x , {\mathbf w}_i \rangle \right|}^2$

72-73 In uno spazio vettoriale a $M$ dimensioni, cioè di cardinalità $M$, si ha un insieme finito di vettori $\left\{ {\mathbf x}_1 , {\mathbf x}_2 , \ldots , {\mathbf x}_M \right\}$. La procedura di Gram-Schmidt permette di trovare il minimo numero $N \leq M$, detto dimensionalità, di versori $\left\{ {\mathbf w}_1 , {\mathbf w}_2 , \ldots , {\mathbf w}_N \right\}$, ortonormali tra di loro, necessario per formare una base per questi vettori:

$\begin{array}{l} {\mathbf w}_1 \cdot \| {\mathbf{\hat{w}}}_1 \| = {\mathbf{\hat{w}}}_1 = {\mathbf x}_1 \\ {\mathbf w}_2 \cdot \| {\mathbf{\hat{w}}}_2 \| = {\mathbf{\hat{w}}}_2 = {\mathbf x}_2 - {\mathbf{\hat{x}}}_2 = {\mathbf x}_2 - \langle {\mathbf x}_2 , {\mathbf w}_1 \rangle {\mathbf w}_1 \\ \vdots \\ {\mathbf w}_i \cdot \| {\mathbf{\hat{w}}}_i \| = {\mathbf{\hat{w}}}_i = {\mathbf x}_i - {\mathbf{\hat{x}}}_i = {\mathbf x}_i - \sum_{k=1}^{i - 1} \langle {\mathbf x}_i , {\mathbf w}_k \rangle {\mathbf w}_k \\ \vdots \\ {\mathbf w}_N \cdot \| {\mathbf{\hat{w}}}_N \| = {\mathbf{\hat{w}}}_2 = {\mathbf x}_N - {\mathbf{\hat{x}}}_N = {\mathbf x}_N - \sum_{k=1}^{N - 1} \langle {\mathbf x}_N , {\mathbf w}_k \rangle {\mathbf w}_k \end{array}$

75 L'algoritmo termina alla $N$-esima iterazione quando il vettore errore $\mathbf e$ è nullo, ovvero quando il vettore proiezione </math>\mathbf{\hat{x}}_N</math> è linearmente dipendente rispetto al vettore ${\mathbf{x}}_N$ e non si genera un nuovo versore. Se $N < M$ significa che si è riusciti a introdurre una semplificazione. Cambiando l'ordine dei vettori considerati si possono ottenere versori diversi, ma la dimensionalità $N$ non varia.

74 Esempio

Si considerano due vettori ${\mathbf x}_1$ e ${\mathbf x}_2$ nello spazio bidimensionale ($M=2$):

1) viene scelto per primo il vettore ${\mathbf x}_1$:

2) viene scelto per primo il vettore ${\mathbf x}_2$:

Note

Teoria ed elaborazione dei segnali (Teoria dei segnali)	A2. Serie e trasformata