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L'elaborazione numerica dei segnali (ENS) è l'applicazione di un algoritmo ad una serie di numeri che rappresenta un segnale.

6 Un segnale x \left( n T_c \right) è a tempo discreto se è definito rispetto a una variabile indipendente n che assume solo valori interi (n \in \Z). Per semplicità si parla di x \left( n T_c \right) come la sequenza x \left( n \right). Il segnale è detto numerico o digitale se assume solo ampiezze discrete.

ClassificazioneModifica

Durata di una sequenzaModifica

11 Una sequenza può avere:

  • durata finita: la sequenza è identicamente nulla all'esterno di un intervallo finito di tempo \left[ n_1 , n_2 \right];
  • durata infinita: il supporto temporale può essere bilatero (\left( - \infty , + \infty \right)) o monolatero (\left[ n_1 , + \infty \right) o \left( - \infty, n_2 \right)).

CausalitàModifica

12 Una sequenza è:

  • casuale se è identicamente nulla per valori di n minori di 0;
  • anticasuale se è identicamente nulla per valori di n maggiori o uguali di 0.

ParitàModifica

13 Una sequenza x \left( n \right) reale è detta:

  • pari se x \left( n \right) = x \left( - n \right);
  • dispari se x \left( n \right) = - x \left( - n \right).

14 Una sequenza x \left( n \right) complessa è detta:

  • coniugata simmetrica se x \left( n \right) = x^* \left( - n \right);
  • coniugata antisimmetrica se x \left( n \right) = - x^* \left( - n \right).

Una qualunque sequenza complessa x \left( n \right) può essere scritta come somma di una sequenza coniugata simmetrica x_p \left( n \right) e di una sequenza coniugata antisimmetrica x_d \left( n \right):

x \left( n \right) = x_p \left( n \right) + x_d \left( n \right)

dove:

\begin{cases} x_p \left( n \right) = \frac{1}{2} x \left( n \right) + {1 \over 2} x^* \left( - n \right) = x_p^* \left( -n \right) \\
x_d \left( n \right) = {1 \over 2} x \left( n \right) - {1 \over 2} x^* \left( - n \right) = -x_d^* \left( - n \right) \end{cases}

PeriodicitàModifica

15 Una sequenza x \left( n \right) è periodica se è possibile trovare un intervallo di tempo N per cui vale la relazione:

x \left( n \right)  = x \left( n \pm N \right) \quad N \in \N

Il periodo è il più piccolo valore intero positivo di N per cui la sequenza è periodica.

Sequenze limitate in ampiezzaModifica

16 Una sequenza x \left( n \right) è limitata se per qualunque istante di tempo discreto n assume valori contenuti entro un intervallo finito X_0 (costante reale finita positiva):

\left| x \left( n \right) \right| \leq X_0 \quad \forall n

Sequenze sommabiliModifica

17 Una sequenza x \left( n \right) è assolutamente sommabile se:

\sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \left| x \left( n \right) \right| \in \R

Una sequenza x \left( n \right) è quadraticamente sommabile se:

\sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( n \right) \right|}^2 \in \R

Sequenze elementariModifica

Sequenza gradino unitarioModifica

Sequenza gradino unitario

19 u \left( n \right) = \begin{cases} 0 , & n < 0 \\
1 , & n \geq 0 \end{cases}

Delta di Kroenecher (impulso unitario)Modifica

Delta di Kroenecher

20 \delta \left( n \right) = \begin{cases} 0, & n \neq 0 \\
1 , & n = 0 \end{cases}

21 Qualsiasi segnale x \left( n \right) può essere espresso come somma di impulsi:

x \left( n \right) = \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} x \left ( i \right) \delta \left( n - i \right)
22 Relazione tra delta numerica e gradino unitario
u \left( n \right) = \sum_{i = 0}^{+ \infty} \delta \left( n - i \right) = \delta \left( n \right) + \delta \left( n - 1 \right) + \delta \left( n - 2 \right) + \ldots
\delta \left( n \right) = u \left( n \right) - u \left( n - 1 \right)

Sequenza rampaModifica

Sequenza rampa

23 r \left( n \right) = n u \left( n \right) = \begin{cases} 0 , & n < 0 \\
n , & n \geq 0 \end{cases}

Sequenza sincModifica

Sequenza sinc

24 \mathrm{sinc} \left( \frac{n}{N} \right) = \frac{\sin{\left( \pi \frac{n}{N} \right)}}{\pi \frac{n}{N}} , \quad N \in \N

Interseca l'asse orizzontale in N, 2N, ecc.

25 Se N = 1, la sequenza sinc \left( n \right) coincide con la delta di Kroenecher.

Sequenza triangoloModifica

Sequenza triangolo

26 t_{2N + 1} \left( n \right) = \begin{cases} 1 - \frac{\left| n \right|}{N} , & \left| n \right| \leq N \\
0 , & \left| n \right| > N \end{cases} , \quad N \in \N

Sequenza esponenzialeModifica

Sequenza esponenziale

27 x \left( n \right) = a^n u \left( n \right)

28 Se a è complesso:

a = A e^{j \theta} \Rightarrow x \left( n \right) = A^n e^{j n \theta} u \left( n \right)

Sinusoidi a tempo discretoModifica

32 Proprietà 1

Sinusoidi che differiscono per un numero intero di angoli giro sono indistinguibili nel dominio del tempo discreto:

A \cos{\left( 2 \pi f_0 n + 2 \pi k n + \theta \right)} = A \cos{\left( 2 \pi f_0 n  + \theta \right)} \quad k \in \Z
33 Proprietà 2

La frequenza delle oscillazioni di una sinusoide a tempo discreto:

  • 0 < f_0 < \tfrac{1}{2}: aumenta all'aumentare di f_0;
  • \tfrac{1}{2} < f_0 < 1: diminuisce all'aumentare di f_0.
34 Proprietà 3

Una sinusoide è periodica se il prodotto N f_0 è un numero intero:

x \left( n + N \right)  = x \left( n \right) \Rightarrow A \cos{\left( 2 \pi f_0 n  + 2 \pi f_0 N + \theta \right)} = \cos{\left( 2 \pi f_0 n + \theta \right)} \quad N \in \Z

Una sinusoide discreta perciò non necessariamente è periodica di periodo \tfrac{1}{f_0}. Se f_0 non è un numero razionale, la sinusoide non è periodica (N dev'essere intero).

Operazioni elementariModifica

Somma e prodottoModifica

36 Le operazioni di somma e prodotto si applicano tra coppie di campioni osservati nei medesimi istanti di tempo.

Traslazione e ribaltamentoModifica

37 Traslazione

La traslazione consiste nel campio di variabile n \to n - N, dove N \in \N è pari al numero di campioni per cui il segnale è ritardato o anticipato:

y \left( n \right) = x \left( n - N \right)
Ribaltamento

Il ribaltamento consiste nel cambio di variabile n \to -n e realizza l'inversione dell'asse dei tempi:

y \left( n \right) = x \left( - n \right)

39 L'operazione di traslazione ha la precedenza su quella di ribaltamento:

x \left( n \right) \to x \left( n - N \right) \to x \left( -n -N \right)

Scalamento temporaleModifica

40-41 Sottocampionamento

L'operazione di sottocampionamento corrisponde a costruire la sequenza y \left( n \right) prendendo un campione ogni D della sequenza x \left( n \right):

y \left( n \right) = D x \left( n \right) \quad D \in \N

Corrisponde all'operazione di compressione nel dominio del tempo continuo. La funzione Matlab è downsample.

42-43 Sovracampionamento

L'operazione di sovracampionamento corrisponde a costruire la sequenza y \left( n \right) inserendo I - 1 zeri tra ogni campione della sequenza x \left( n \right):

y \left( n \right)  = \begin{cases} x \left( \frac{n}{I} \right) & \forall n = \ldots , - 2 I, - I , 0 , + I, +2I , \ldots \\
0 & \text{altrimenti} \end{cases}

Corrisponde all'operazione di dilatazione nel dominio del tempo continuo. La funzione Matlab è upsample.

Convoluzione lineareModifica

44 La convoluzione lineare tra due sequenze discrete x \left( n \right) e y \left( n \right) è definita:

x \left( n \right) * y \left( n \right) = \int_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right)  y \left( n - k \right)
54 Proprietà

Il supporto della convoluzione è pari alla somma dei singoli supporti meno 1.

  • commutativa:
    x \left( n \right) * y \left( n \right) = y \left( n \right) * x \left( n \right)
  • distributiva:
    x \left( n \right) * \left[ y \left( n \right) + z \left( n \right) \right] = x \left( n \right) * y \left( n \right) + x \left( n \right) * z \left( n \right)
  • associativa:
    x \left( n \right) * \left[ y \left( n \right) * z \left( n \right) \right] = \left[ x \left( n \right) * y \left( n \right) \right] * z \left( n \right)

53 La funzione Matlab è conv.

Energia e potenza mediaModifica

EnergiaModifica

58

E_x = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( n \right) \right|}^2

Per sequenze a energia finita, l'energia non dipende da traslazioni temporali di x \left( n \right):

E_x = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( n \right) \right |}^2 = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( n - N \right) \right |}^2 \quad \forall N \in \Z

63 L'energia di un segnale analogico x \left( t  \right) è approssimabile alla sua sequenza x \left( n T_c \right) campionata a intervalli T_c molto piccoli:

E_x = \int_{- \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( t \right) \right|}^2 dt \approx T_c \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( n T_c \right) \right|}^2

Potenza mediaModifica

60 Per sequenze a energia infinita è possibile definire la potenza media:

P_x = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N + 1} \sum_{n = - N}^{+N} {\left| x \left( n \right) \right|}^2
  • Le sequenze a energia finita hanno potenza media nulla.
  • Le sequenze a potenza media finita (e non nulla) hanno energia infinita.
59 Esempio

La sequenza gradino unitario u \left( n \right) ha energia infinita ma potenza media finita:

E_x = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| u \left( n \right) \right|}^2 = \sum_{n = 0}^{ + \infty} 1 \to + \infty
P_x = \lim_{N \to + \infty} \frac{1}{2N + 1} \sum_{n = - N}^{+ N} {\left| u \left( n \right) \right|}^2 = \lim_{N \to + \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n = 0}^{+N} 1 = \lim_{N \to + \infty} \frac{N + 1}{2N+1} = \frac{1}{2}

61 La potenza media di un segnale periodico è pari alla potenza media calcolata in un suo periodo: La potenza media P_x di un segnale periodico dipende dall'energia del segnale all'interno di un singolo periodo:

P_x = \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} {\left| x \left( n \right) \right|}^2

64 La potenza di un segnale analogico x \left( t \right) è approssimabile alla sua sequenza x \left( n T_c \right) campionata a intervalli T_c molto piccoli:

P_x = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^T {\left| x \left( t \right) \right|}^2 dt \cong \lim_{N \to + \infty} \frac{1}{\left( 2N+1 \right) \cancel{T_c}} \sum_{n = -N}^{+N} {\left| x \left( n T_c \right) \right|}^2 \cancel{T_c}

Inoltre, se il segnale è periodico:

P_x = \frac{1}{T} \int_0^T {\left| x \left( t \right) \right|}^2 dt \cong \frac{1}{N \cancel{T_c}} \sum_{n = 0}^{N - 1} {\left| x \left( n T_c \right) \right|}^2 \cancel{T_c}

Funzioni di correlazioneModifica

66-67-68-69 Mutua correlazione Autocorrelazione
R_{xy} \left( n \right) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x^* \left( k + n \right) y \left( k \right) R_x \left( n \right) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x^* \left( k + n \right) x \left( k \right)
Sequenze a potenza finita \Phi_{xy} \left( n \right) = \lim_{N \to + \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{k = - N}^{+N} x^* \left( k + n \right) y \left( k \right) \Phi_x \left( n \right) = \lim_{N \to + \infty} \frac{1}{2N + 1} \sum_{k = -N}^{+N} x^* \left( k+ n \right) x \left( k \right)
Sequenze periodiche \Phi_{xy} \left( n \right) = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N -1 } x^* \left( k+ n \right) y \left(k \right) \Phi_x \left( n \right) = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N -1} x^* \left( k + n \right) x \left( k \right)
Proprietà se la sequenza è reale:
R_{xy} \left( n \right) = R_{yn} \left( - n \right)
R_x \left( 0 \right) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( k \right) \right|}^2 = E_x

Esempio: segnale radarModifica

66 La funzione di mutua correlazione può essere usata per ricavare informazioni sul grado di similarità tra due sequenze a energia finita.

76 L'eco r \left( n \right) di un segnale radar x \left( t \right) è del tipo:

r \left( n \right) = \alpha x \left( n - D \right) + g \left( n \right)
  • \alpha è l'attenuazione del segnale;
  • D è il ritardo del segnale;
  • g \left( n \right) è il rumore.

77 La funzione di mutua correlazione z \left( n \right) ha un picco in n = D → sapendo il ritardo è possibile calcolare la distanza dell'oggetto: d = \tfrac{D}{2} \cdot c.

Segnale radar 1

x \left( n \right)

Segnale radar 2

r \left( n \right)

Segnale radar 3

z \left( n \right)

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