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Media temporaleModifica

Media temporale di un segnale determinatoModifica

2 Dato un segnale determinato x \left( t \right) ed una qualsiasi funzione g, l'operatore di media temporale è definito:

\langle g \left[ x \left( t \right) \right] \rangle \triangleq \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{+ \frac{T}{2}} g \left[ x \left( t \right) \right] dt
3 Valor medio
\overline{x} = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{+ \frac{T}{2}} x \left( t \right) dt = \langle x \left( t \right) \rangle
Potenza media
P \left( x \right) \triangleq \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{+ \frac{T}{2}} {\left| x \left( t \right) \right|}^2 dt = \langle {\left| x \left( t \right) \right|}^2 \rangle

Media temporale di più segnali determinatiModifica

7 La media temporale di una funzione g di n segnali x_1, x_2, \ldots, x_n, valutati a istanti di tempo anche differenti, è una funzione di n - 1 variabili \tau_1, \tau_2, \ldots, \tau_{n-1} (la variabile t viene integrata):

\langle g \left[ x_1 \left( t \right) , x_2 \left( t + \tau_1 \right) , \ldots , x_n \left( t + \tau_{n-1} \right) \right]  \rangle \triangleq \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{+ \frac{T}{2}} g \left[ x_1 \left( t \right) , x_2 \left( t + \tau_1 \right) , \ldots , x_n \left( t + \tau_{n-1} \right) \right] dt
8 Autocorrelazione[1]
R_x \left( \tau \right) = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x \left( t + \tau \right) x^* \left( t \right) dt = \langle x \left( t + \tau \right) x^* \left( t \right) \rangle
Mutua correlazione
R_{xy} \left( \tau \right) = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{{T \over 2}} x \left( t + \tau \right) y^* \left( t \right) dt = \langle x \left( t + \tau \right) y^* \left( t \right) \rangle

Media d'insieme di un processo casualeModifica

5 La media d'insieme è la media pesata delle realizzazioni di un processo, e a differenza della media temporale restituisce un valore dipendente dal tempo:

E \left[ g \left( X \left( t \right) \right) \right] = \sideset{}{_i}\sum{g \left[ x \left( t ; s_i \right) \right] P \left[ x \left( t ; s_i \right) \right]}

ErgodicitàModifica

Media temporale di una realizzazioneModifica

4 Siccome una specifica realizzazione g \left[ x \left( t ; s_0 \right) \right] di un processo casuale X \left( t \right) è un segnale determinato, anche ad esso è possibile applicare l'operatore di media temporale:

\langle g \left[ x \left( t ; s_0 \right) \right] \rangle \triangleq \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{+ \frac{T}{2}} g \left[ x \left( t ; s_0 \right) \right] dt
6 Esempio - Potenza

La media temporale è la potenza istantanea di una certa realizzazione:

\langle g \left[ x \left( t \right) \right] \rangle = \langle {\left| x \left( t ; s_0 \right) \right| }^2 \rangle = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} {\left| x \left( t ; s_0 \right) \right|}^2 dt

La media d'insieme è legata alla potenza media del processo:[dubbio]

\left. E \left[ g \left( X \left( t \right) \right) \right] \right \vert_{t = t_i} = E \left( {\left| X \left( t_i \right) \right|}^2 \right)

Ergodicità per la mediaModifica

10 Un processo X \left( t \right) è ergodico (per la media) se la media temporale di una sua qualsiasi realizzazione e la sua media d'insieme coincidono:

E \left[ g \left( X \left( t \right) \right) \right] = \langle g \left[ x \left( t ; s_i \right) \right] \rangle \quad \forall i

11 Se il processo è ergodico, è sufficiente una sua qualunque realizzazione per estrarne le statistiche. Il sistema che genera il processo può evolvere attraverso tutti i suoi possibili stati partendo da una qualsiasi condizione iniziale.

  • 5-9 Si dice che il processo è stazionario per la sua media temporale se questa non dipende dalla realizzazione.
  • Si dice che il processo è stazionario per la sua media d'insieme se questa è costante nel tempo.

L'ergodicità richiede la stazionarietà per quella media, ma non vale il viceversa: la stazionarietà per quella media non implica l'ergodicità.

14 Nel caso di g funzione identità, se l'autocovarianza K_X \left( \tau \right) è modulo integrabile il processo X \left( t \right) è ergodico.

Esempi
  • 12 se il processo \mathcal{P} contiene tutte le traslazioni di un segnale x \left( t \right), e tutte le traslazioni hanno la stessa probabilità, allora il processo è ergodico:
\mathcal{P} = \left\{ x \left( t + t_1 \right)  \quad \forall t_1 \right\}
  • se il processo \mathcal{P} contiene tutte le traslazioni di due segnali diversi x \left( t \right) e y \left( t \right), e tutte le traslazioni hanno la stessa probabilità, allora il processo non è ergodico perché una qualsiasi realizzazione può essere la traslazione o di x \left( t \right) o di y \left( t \right):
\mathcal{P} = \left\{ x \left( t + t_1 \right) , y \left( t + t_2 \right) \quad \forall t_1, t_2 \right\}
  • 13 segnale vocale:[2] non è ergodico perché una persona non può fisicamente generare tutti i segnali generabili da un qualunque essere umano;
  • rumore termico[3] a una temperatura data: è ergodico perché non dipende dalla resistenza scelta.

Ergodicità per l'autocorrelazioneModifica

15 Se il processo casuale X \left( t \right) è ergodico per l'autocorrelazione, allora il suo spettro di potenza S_X \left( f \right) può essere valutato a partire da una sola realizzazione:

R_X \left( \tau \right) \triangleq E \left( X \left( t \right) X^* \left( t + \tau \right) \right) = {\mathcal{F}}^{-1} \left\{ S_X \left( f \right) \right\} = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} X \left( t + \tau ; s_i \right) X^* \left( t ; s_i \right) dt

NoteModifica

  1. Per segnali a potenza finita.
  2. Un segnale vocale è l'insieme dei segnali generabili dall'apparato fonatorio di un umano.
  3. Il rumore termico è l'insieme dei segnali generabili da una qualsiasi resistenza posta a temperatura T.

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