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Diagrammi a blocchiModifica

Un diagramma a blocchi è un sistema LTI costituito da un insieme di sistemi LTI interconnessi tramite dei blocchi fondamentali.

4 Blocchi fondamentali
Sommatore Diagramma sommatore y \left( t \right) = x_1 \left( t \right) + x_2 \left( t \right)
Y \left( f \right) = X_1 \left( f \right) + X_2 \left( f \right)
Ritardatore Diagramma ritardatore h \left( t \right) = \delta \left( t - T \right)
H \left( f \right) = e^{- j 2 \pi f T}
y \left( t \right) = x \left( t - T \right)
Y \left( f \right) = X \left( f \right) e^{- j 2 \pi f T}
Amplificatore Diagramma amplificatore h \left( t \right) = A \delta \left( t \right)
H \left( f \right) = A
y \left( t \right) = A x \left( t \right)
Y \left( f \right) = A X \left( f \right)
2 Tipi di interconnessione
Serie Diagramma serie Y \left( f \right) = X \left( f \right) H_1 \left( f \right) H_2 \left( f \right)
Parallelo Diagramma parallelo Y \left( f \right) = X \left( f \right) \left[ H_1 \left( f \right) + H_2 \left( f \right) \right]
Retroazione (o feedback) Diagramma retroazione Y \left( f \right) = X \left( f \right) \frac{H_1 \left( f \right)}{1 - H_1 \left( f \right) H_2 \left( f \right)}

7 Con ritardatori e amplificatori opportunamente concatenati si possono ottenere sistemi LTI con funzioni di trasferimento desiderate nella forma:

  • senza retroazione (FIR):
    H_{\text{FIR}} \left( f \right) = \sideset{}{_i}\sum{{\alpha}_i e^{-j2 \pi f {\tau}_i}}
  • con retroazione (IIR):
    H_{\text{IIR}} \left( f \right) = \frac{\sideset{}{_i}\sum{{\alpha}_i e^{-j2 \pi f {\tau}_i}}}{\sideset{}{_k}\sum{{\beta}_k e^{-j2 \pi f {\tau}_k}}}

Definizioni di bandaModifica

La banda di un segnale o di un sistema[1] può essere definita in vari modi a seconda del contesto applicativo.

15 Siccome la trasformata di Fourier di un segnale o di un sistema reale è pari, quindi simmetrica rispetto all'asse delle ordinate, spesso si considera solo la parte positiva dell'asse delle frequenze misurando la banda unilatera, che equivale alla metà della banda bilatera.

Misura del supportoModifica

8 La larghezza di banda è pari al supporto del segnale nel dominio della frequenza, cioè all'intervallo di frequenze in cui il segnale non è nullo.

9 Spesso la definizione di banda come misura del supporto della trasformata di Fourier è troppo restrittiva, perché molti segnali e sistemi hanno in realtà una trasformata di Fourier con supporto infinito. Molti sistemi tuttavia presentano un intervallo di frequenze dove la funzione di trasferimento è quasi nulla.

Banda a 3 dBModifica

11 Questa definizione è usata in particolare quando si parla di filtri.

Su scala lineare ({\left| H \left( f \right) \right|}^2)

La larghezza di banda B_p è pari all'intervallo di frequenze compreso tra la frequenza di taglio inferiore f_1 e la frequenza di taglio superiore f_2:

  • la frequenza di taglio inferiore f_1 corrisponde a un dimezzamento rispetto al valore massimo A;
  • la frequenza di taglio superiore f_2 corrisponde a un dimezzamento rispetto al valore massimo A.
Banda a 3 dB lineare
Su scala logaritmica ({\left| H \left( f \right) \right|}_{\text{dB}}^2 = 20 \log_{10}{\left| H \left( f \right) \right|})

La larghezza di banda B_p è pari all'intervallo di frequenze compreso tra la frequenza di taglio inferiore f_1 e la frequenza di taglio superiore f_2:

  • la frequenza di taglio inferiore f_1 corrisponde a un'attenuazione di 3 dB rispetto al valore massimo A_{\text{dB}};
  • la frequenza di taglio superiore f_2 corrisponde a un'attenuazione di 3 dB rispetto al valore massimo A_{\text{dB}}.
Banda a 3 dB logaritmica
Classificazione filtri
16 Classificazione dei filtri
  • filtro passa-basso (detto banda base): il filtro ha banda finita centrata intorno all'origine (DC);
  • filtro passa-banda: il filtro ha banda finita, che non include l'origine;
  • filtro passa-alto: il filtro ha banda infinita, che non include l'origine;
  • filtro elimina-banda: il filtro ha banda infinita, e non include un certo intervallo di frequenze.

Gli ultimi due tipi di filtri sono ideali perché non esistono filtri a banda infinita.

17 Per filtro ideale si intende quello che presenta le migliori caratteristiche possibili:

  • guadagno unitario nella banda passante;
  • guadagno nullo nella banda attenuata (o oscura).
Passa-basso ideale reale

I filtri reali non sono realizzabili.

Banda equivalente di rumoreModifica

Banda equivalente di rumore

12 La larghezza di banda B_{\text{eq}} è pari alla larghezza del rettangolo:

  • la cui altezza è pari al massimo A di {\left| H \left( f \right) \right|}^2;
  • la cui area è uguale all'energia complessiva E \left( H \right) della funzione di trasferimento, cioè all'area di {\left| H \left( f \right) \right|}^2 sull'intero asse delle frequenze:
B_{\text{eq}} = \frac{E \left( H \left( f \right) \right)}{A}

Banda che contiene una data percentuale di energiaModifica

Banda percentuale

13 La larghezza di banda B_{x%} è pari al supporto della parte di grafico la cui energia corrisponde all'x% dell'energia complessiva E \left( H \right) della funzione di trasferimento, ovvero dell'area di {\left| H \left( f \right) \right|}^2 sull'intero asse delle frequenze:

B_{x%} = \left| a - b \right| : \, \int_a^b {\left| H \left( f \right) \right|}^2 df = \frac{x}{100} E \left( H \right)

Estensione di frequenzaModifica

14 La banda è l'estensione di frequenza D:

D^2 = 4 {\pi}^2 \int f^2 \frac{{\left| X \left( f \right) \right|}^2}{E \left( x \right)} df
Exquisite-kfindPer approfondire, vedi la sezione Relazione tempo-frequenza alla pagina A3. Proprietà trasformata.

Distorsione lineareModifica

18 La distorsione lineare è il fenomeno che modifica la forma del segnale di ingresso di un sistema LTI: le sinusoidi che passano per un sistema LTI non sono tutte moltiplicate per uno stesso valore costante. Un sistema LTI non presenta distorsione lineare se introduce solo un'amplificazione e/o un ritardo, senza modificare la forma:

y \left( t \right) = k x \left( t - t_D \right)

cioè la funzione di trasferimento H \left( f \right) del sistema deve avere modulo costante e fase lineare:

H \left( f \right) = k e^{-j 2 \pi t_D f}

I blocchi fondamentali ideali, amplificatore e ritardatore, qualsiasi frequenza si consideri non introducono alcuna distorsione lineare. Nella realtà non è possibile realizzare un sistema non distorcente ideale, ma si possono realizzare dei sistemi che non introducono distorsione limitatamente a una certa banda.

19 Una distorsione lineare è eliminabile con un equalizzatore posto in serie. Ad esempio, se un segnale x \left( t \right) viene distorto da un canale, cioè un sistema LTI la cui funzione di trasferimento H_c \left( f \right) non è modificabile, è possibile porre in serie un equalizzatore che abbia una funzione di trasferimento H_e \left( f \right) con a denominatore proprio H_e \left( f \right) (che si semplifica nel prodotto delle funzioni di trasferimento nella serie):[2]

H_e \left( f \right) = \frac{ke^{-j2 \pi t_D f}}{H_e \left( f \right)}

Modulazione e demodulazioneModifica

ModulazioneModifica

7 Si ricorda che la modulazione di un segnale x \left( t \right), cioè la sua moltiplicazione con una cosinusoide[3], corrisponde nel dominio della frequenza a uno "sdoppiamento" dello spettro:

\mathcal{F} \left\{ x \left( t \right) \cos { \left( 2 \pi f_0 t \right) } \right\} = \frac{1}{2} \left[ X \left( f - f_0 \right) + X \left( f + f_0 \right) \right]

20 Grazie alla modulazione è possibile trasferire un segnale x \left( t \right) in banda base attraverso un canale (ad esempio radio) avente una funzione di trasferimento H_c \left( f \right) di tipo passa-banda.

21 Il segnale modulato X' \left( f \right):

X ' \left( f \right) = \frac{1}{2} \left[ X \left( f - f_0 \right) + X \left( f + f_0 \right) \right]

attraversa il canale e viene ricevuto amplificato (o attenuato) dal filtro passa-banda:

Y \left( f \right) = \frac{A}{2} \left[ X \left( f - f_0 \right) + X \left( f + f_0 \right) \right]

DemodulazioneModifica

Il segnale originario può essere ora ricostruito tramite la demodulazione:

  1. il segnale ricevuto Y \left( f \right) viene modulato di nuovo in base alla stessa frequenza f_0 di prima:
Y' \left( f \right) = \frac{A}{2} X \left( f \right) + \frac{A}{4} \left[ X \left( f - 2 f_0 \right) + X \left( f + 2 f_0 \right) \right]
ottenendo nel dominio della frequenza tre repliche, di cui quella centrale è proprio il segnale originario solo amplificato (o attenuato):
Demodulazione
  1. 22 le componenti ad alta frequenza vengono eliminate tramite un opportuno filtro passa-basso, riottenendo così il segnale originario.

23 Perché il sistema funzioni devono essere rispettate le seguenti condizioni:

  • la banda passante del canale deve essere più grande della banda del segnale da trasmettere;
  • la banda del filtro in ricezione deve essere più grande della banda del segnale trasmesso;
  • la frequenza centrale f_0 deve essere maggiore della banda unilatera del segnale da trasmettere.

24 Se la funzione di trasferimento del canale non è piatta, cioè è distorcente, nell'intervallo di frequenze del segnale trasmesso il filtro di ricezione può, oltre a fare da filtro passa-banda, anche compensare la distorsione e quindi servire da filtro di equalizzazione.

Multiplazione in frequenzaModifica

25 Più segnali con occupazione di banda sovrapposta possono essere multiplati, cioè trasmessi in contemporanea, su un singolo canale modulandoli in base a frequenze f_i diverse, in modo che gli spettri non si sovrappongano l'un l'altro.

NoteModifica

  1. Per "banda di un sistema" s'intende la banda della sua funzione di trasferimento H \left( f \right).
  2. Il canale non dev'essere nullo.
  3. Non si considera la componente immaginaria sinusoidale.

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