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2 Un segnale analogico è più facile da elaborare se viene campionato in un segnale numerico, cioè tempo discreto e discreto in ampiezza. Come campionare un segnale tempo-continuo senza perdere informazione?

Teorema di campionamento (o di Nyquist-Shannon)

Un segnale tempo-continuo può essere campionato e perfettamente ricostruito a partire dai suoi campioni se la frequenza di campionamento f_c è maggiore del doppio della banda B [1] del segnale:

f_c \triangleq \frac{1}{T_c} > 2B

5 con la condizione che la banda B sia limitata.

3 Il teorema del campionamento garantisce che il segnale campionato può essere ricostruito perfettamente tramite un filtro interpolatore (ricostruttore), e che il segnale ricostruito coinciderà con il segnale tempo-continuo di partenza.

Filtro anti-aliasingModifica

8-9-10 La maggioranza dei segnali utilizzati nella realtà hanno banda illimitata: esiste un intervallo al di fuori del quale il segnale è significativamente vicino a zero, ma non è mai identicamente nullo. Il segnale campionato quindi presenterà nel dominio della frequenza delle sovrapposizioni degli spettri che alla fine non possono essere ricostruite dal filtro interpolatore. Il filtro anti-aliasing serve per eliminare le parti ad alta frequenza prima del campionamento:

\mathrm{AA} \left( f \right)  \begin{cases} = 0 & \left| f \right| > B_{\mathrm{AA}} \\
\neq 0 & \text{altrove} \end{cases}

con B_x < B_{\mathrm{AA}} < \tfrac{f_c}{2}. La distorsione del filtro anti-aliasing non è ugualmente rimediabile, ma è comunque preferibile rispetto all'effetto di aliasing (o sovrapposizione).

Campionatori realiModifica

Campionatore reale

11-12 Il campionatore ideale (treno di delta):

x ' \left( t \right) = x \left( t \right) * \delta \left( - t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \delta \left( t - n T_c \right) x \left( t \right)

è impossibile da realizzare nella realtà, perché la delta \delta \left( t \right) è un impulso con ampiezza illimitata e supporto infinitesimo → si utilizza un impulso h \left( t \right) il più possibile simile alla delta, cioè con ampiezza molto grande e supporto molto piccolo:

x ' \left( t \right) = x \left( t \right) * h \left( - t \right) \Rightarrow x ' \left( n T_c \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty} h \left( \tau - n T_c \right) x \left( \tau \right) d \tau

InterpolatoriModifica

Condizioni idealiModifica

4-5 Un segnale campionato:

\begin{cases} x_c \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n T_c \right) \delta \left( t - n T_c \right) \\
X_c \left( f \right) = \frac{1}{T_c} \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} X \left( f - \frac{n}{T_c} \right) \end{cases}

può essere ricostruito tramite un filtro passa-basso ideale, detto filtro ricostruttore ottimo K \left( f \right):

x \left( t \right) = x_c \left( t \right) * K \left( t \right) =  \left[ \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n T_c \right) \delta \left( t - n T_c \right) \right] * K \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n T_c \right) K \left( t - n T_c \right) , \quad K \left( f \right ) = \begin{cases} T_c & \left| f \right| < B \\
\text{qualsiasi valore} & B < \left| f \right| < f_c - B \\
0 & \left| f \right| > f_c - B \end{cases}

Il filtro ricostruttore ottimo K \left( f \right) deve essere:

  • non distorcente nella banda del segnale (piatto);
  • nullo al di fuori della banda del segnale per eliminare le componenti ad alta frequenza.

Esempi di interpolatori distorcentiModifica

6 Costante a tratti

Il segnale viene approssimato a una serie di rettangoli:

\begin{cases} K \left( t \right) = {\Pi}_{T_c} \left( t \right) \\
K \left( f \right) = T_c \mathrm{sinc} \left( f T_c \right) \end{cases}
Lineare

Il segnale viene approssimato a una serie di trapezi:

\begin{cases} K \left( t \right) = {\Lambda}_{T_c} \left( t \right) \\
K \left( f \right) = T_c {\mathrm{sinc}}^2 \left( f t_c \right) \end{cases}

Esempi di interpolatori non distorcentiModifica

7 Funzione sinc
Esempio interpolatore 1

Il filtro interpolatore ideale è il seguente:

\begin{cases} K \left( t \right) = B T_c \mathrm{sinc} \left( t B \right) \\
K \left( f \right)  = T_c \Pi_B \left( f \right) \end{cases}

perché il segnale viene ricostruito da una sommatoria di infinite funzioni sinc, dove per ogni n esiste una sinc che assume esattamente il valore del campione n-esimo all'istante n T_c e un valore nullo in tutti gli altri istanti di campionamento:

x \left( t \right) = B T_c \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left( n T_c \right) \mathrm{sinc} \left( B \left( t - n T_c \right) \right)

Tuttavia nei punti intermedi agli istanti di campionamento il segnale x \left( t \right) è dato dalla somma dei contributi di infinite funzioni sinc:

Esempio interpolatore 2
Coseno rialzato
Esempio interpolatore 3
K \left( t \right) = N T_c \mathrm{sinc} \left( Bt \right) \cdot \frac{\cos{\alpha B \pi t}}{1 - {\alpha B t}^2}

Condizioni:

  • roll-off \alpha: 0 < \alpha < 1 (se \alpha = 0 diventa la funzione sinc)
  • \frac{B}{2} \left( 1 - \alpha \right) > B_x
  • \frac{B}{2} \left( 1 + \alpha \right) < f_c - B_x

Condizioni realiModifica

12-13 Il filtro ricostruttore può integrare anche un filtro equalizzatore che rimedi agli effetti del filtro anti-aliasing e alle distorsioni provocate da un campionatore reale:

K \left( f \right) = \begin{cases} \frac{T_c}{\mathrm{AA} \left( f \right) H \left( f \right)} & \left| f \right| < B_{\mathrm{AA}} \\
0 & \left| f \right| > f_c - B_{\mathrm{AA}} \end{cases}

a patto che H \left( f \right), cioè la trasformata di Fourier dell'impulso campionatore h \left( t \right), non cancelli definitivamente qualche frequenza compresa nella banda B_{\mathrm{AA}} del filtro anti-aliasing:

H \left( f \right) \neq 0 \quad \forall \left| f \right| < B_{\mathrm{AA}}
Campionamento reale

NoteModifica

  1. Per banda si intende qui la lunghezza del supporto in frequenza.
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