FANDOM


Nota disambigua
Il titolo di questa voce non è corretto per via delle caratteristiche del software MediaWiki. Il titolo corretto è B5. Analisi in frequenza di segnali a tempo continuo campionati.
Blue Glass Arrow RTL  B4. DFT e FFTCrystal Clear app kfm home  Teoria ed elaborazione dei segnali (Elaborazione numerica dei segnali)Blue Glass Arrow  B6. Sistemi LTI a tempo discreto
Gli appunti che seguono sono contenuti nella sottopagina /sub (modifica · cronologia · aggiorna)

DTFT di un segnale analogico campionatoModifica

4 La trasformata di Fourier X_d \left( f_a \right) del segnale x_d \left( t \right), cioè il segnale analogico x \left( t \right) campionato a frequenza f_a:

x_d \left( t \right) = x \left( t \right) \cdot \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \delta \left( t - k T_c \right) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k T_c \right) \delta \left( t - k T_c \right)

5 si può esprimere in due modi del tutto equivalenti:

X_d \left( f_a \right) = \mathcal{F}  \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \left\{ x \left( t \right) \delta \left( t - k T_c \right) \right\} = \begin{cases} \mathcal {F} \left\{ x \left( t \right) \right\} * \mathcal{F} \left\{ \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \delta \left( t - k T_c \right) \right\} = \ldots = \frac{1}{T_c} \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} X \left( f_a - k \frac{1}{T_c} \right) \\
\mathcal{F} \left\{ \sum_{k = - \infty}^{+ \infty}  x \left( k T_c \right) \cdot \delta \left( t - k T_c \right) \right\} = \ldots = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k T_c \right) e^{-j 2 \pi k T_c f_a} \end{cases}

9 La DTFT X \left( e^{j2 \pi f} \right) del segnale a tempo discreto x \left( k \right) può essere ricondotta alla trasformata di Fourier X_d \left( f_a \right) del corrispondente segnale analogico x \left( k T_c \right), campionato con una frequenza f_c = \tfrac{1}{T_c} che rispetta il teorema del campionamento:

\begin{cases} X \left( e^{j2 \pi f} \right) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) e^{-j2 \pi f} \\
X_d \left( f_a \right)  = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k T_c \right) e^{-j 2 \pi k T_c f_a} \end{cases} \Rightarrow X_d \left( f \cdot f_c \right) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) e^{-j2 \pi k f} = X \left( e^{j2 \pi f} \right)

7-8 Per ricostruire perfettamente il segnale campionato, serve un filtro passa-basso ideale H \left( f \right), che è la porta di ampiezza T_c e supporto \left[ - \tfrac{f_c}{2}, \tfrac{f_c}{2} \right], per eliminare le repliche dello spettro periodico X_d \left( f_a \right) lasciando solo quella centrata intorno all'origine (k = 0):

X \left( f_a \right) = H \left( f \right) * X_d \left( f_a \right) = T_c X_d \left( f_a \right) \quad f_a \in \left[ - \frac{f_c}{2} , \frac{f_c}{2} \right]

10 Quindi il legame tra la DTFT del segnale a tempo discreto x \left( k \right) e la trasformata di Fourier del segnale campionato x \left( k T_c \right) filtrata con un filtro passa-basso è:

X \left( f \cdot f_c \right) = T_c \cdot X_d \left( f \cdot f_c \right) = T_c \cdot X \left( e^{j2 \pi f} \right) \quad f_a \in \left[ - \frac{f_c}{2} , \frac{f_c}{2} \right]

DFT di un segnale analogico campionatoModifica

13 Ipotesi
  • il segnale x \left( t \right) ha supporto \left( 0 , T_x \right) limitato nel tempo;
  • il segnale x \left( t \right) è a banda limitata (pari a B_x);
  • il segnale x \left( t \right) viene campionato con una frequenza di campionamento f_c \geq 2 B_x per evitare l'aliasing in frequenza, generando la sequenza:
    x \left( n \right) = x \left( n T_c \right) \quad n = 0 , \ldots , N-1
  • si considera un intervallo di tempo T_0:
    T_0 = \frac{1}{\Delta f} = N T_c = \frac{N}{f_c}
che includa il supporto T_x del segnale x \left( t \right), per evitare l'aliasing nel tempo:
T_0  \geq T_x

12-14-15-16 L'uso della DFT al posto della DTFT permette di lavorare su frequenze discrete e su un numero finito di campioni nel tempo:

\begin{cases} X \left( f \cdot f_c \right) = X \left( f \cdot \frac{N}{T_0} \right) = \frac{T_0}{N} \cdot X \left( e^{j2 \pi f} \right) \\
X \left( k \right) = X \left( e^{j2 \pi \frac{k}{N}} \right)  \end{cases} \Rightarrow X \left( \frac{k}{T_0} \right) = \frac{T_0}{N}  X \left( k \right) \quad k = 0 , \ldots , N-1

18 Aumentando l'intervallo T_0 su cui si osserva il segnale con la tecnica dell'aggiunta degli zeri (a parità di frequenza di campionamento), si può aumentare la risoluzione in frequenza dello spettro, perché la trasformata di Fourier X \left( \tfrac{k}{T_0} \right) del segnale viene campionata con una minore spaziatura in frequenza \Delta f = \tfrac{1}{T_0}.

20 Parametri

La scelta dei parametri deve essere fatta in modo da limitare l'aliasing nel tempo e in frequenza:

\begin{cases} T_0 = N T_c \\
f_c = \frac{1}{T_c} \\
\Delta f = \frac{1}{T_0} \end{cases}
DFT segnali campionati aliasing in frequenza

26 Esempio di aliasing in frequenza (visibile soprattutto agli estremi), dovuto a frequenza di campionamento f_c troppo bassa

DFT segnali campionati aliasing nel tempo

28 Esempio di aliasing nel tempo (visibile soprattutto intorno all'origine), dovuto a intervallo di tempo T_0 troppo basso

Blue Glass Arrow RTL  B4. DFT e FFTCrystal Clear app kfm home  Teoria ed elaborazione dei segnali (Elaborazione numerica dei segnali)Blue Glass Arrow  B6. Sistemi LTI a tempo discreto

Ad blocker interference detected!


Wikia is a free-to-use site that makes money from advertising. We have a modified experience for viewers using ad blockers

Wikia is not accessible if you’ve made further modifications. Remove the custom ad blocker rule(s) and the page will load as expected.

Inoltre su FANDOM

Wiki casuale