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Struttura 2 Il sistema MOS è la struttura base del transistore MOSFET, ed è anche detto condensatore MOS perché ha una struttura simile a quella di un condensatore: • bulk: è un substrato composto da un materiale semiconduttore drogato, di solito silicio drogato di tipo p (p-Si); • sopra vi è uno strato molto sottile di materiale isolante/dielettrico di bassa conducibilità elettrica, come il biossido di silicio SiO2; • gate: è uno strato metallico conduttore di elevata conducibilità elettrica, come l’alluminio o più recentemente il silicio policristallino con forte drogaggio n (poly).

Regioni di funzionamento 11-12 A seconda della tensione V_G applicata al terminale del gate, si hanno tre regioni di funzionamento: (V_FB<0, V_th>V_FB) • accumulo di lacune (V_G<V_FB): in prossimità dell’interfaccia tra gate e ossido si forma uno strato superficiale di carica negativa, dovuto agli elettroni attirati verso l’ossido; le lacune del semiconduttore sono di conseguenza attirate all’interfaccia ossido-bulk; • svuotamento di lacune (V_FB<V_G<V_th): gli elettroni del metallo vengono allontanati dall’interfaccia gate-ossido, formando così all’in¬terfaccia stessa uno strato di spessore infinitesimo di carica positiva, che viene bilanciata dalla carica negativa che si forma nella regione di svuotamento del bulk, sotto l’interfaccia con l’ossido, con la sottrazione di lacune dalla BV di 〖N_A〗^- atomi che diventano accettatori ionizzati; • inversione (V_G>V_th): la regione svuotata si amplia sempre di più, finché la tensione applicata V_G non supera la tensione di soglia V_th e i¬nizia ad aggiungersi in prossimità dell’interfaccia ossido-bulk un sottile strato di elettroni liberi in BC, che aumenta la carica negativa della regione svuotata stessa.

Condizioni di equilibrio termodinamico V_G=0: Svuotamento di lacune 5 I livelli di Fermi E_F del metallo e del semiconduttore non sono allineati: il livello di Fermi del metallo è praticamente coincidente con il livello E_c poiché drogato n^+, mentre quello del semiconduttore è vicino al livello E_v poiché drogato p. Il lavoro di estrazione qϕ_M degli elettroni nel metallo è quindi minore del lavoro di estrazione q〖ϕ_S〗_p nel semiconduttore, 8 e la loro differenza definisce la tensione di banda piatta V_FB: V_FB=ϕ_M-〖ϕ_S〗_p≃-0,9 V 6 Alla formazione della giunzione con V_G=0, per raggiungere l’equilibrio termodinamico il livello di Fermi deve essere costante poiché non c’è corrente che scorre → si ha uno spostamento di elettroni dal metallo al semiconduttore, o equivalentemente di lacune nel verso opposto: • semiconduttore: si forma una regione svuotata caricata negativamente dagli atomi accettatori ionizzati; • ossido: la barriera di energia è molto ampia e la carica elettrica al suo interno è nulla poiché è un isolante; • metallo: si forma uno strato svuotato di elettroni, con una carica quindi positiva che, poiché il sistema dev’essere globalmente neutro, compensa la carica negativa -qN_A x_p nel semiconduttore; dato che un metallo ideale è equipotenziale, gli elettroni si concentrano su una superficie infinitesima, rappresentata matematicamente con una delta di Dirac, in prossimità dell’interfaccia metallo-ossido. 7 Ricavando il campo elettrico Ε ⃗ dall’equazione di Poisson: dΕ/dx=ρ/ϵ all’interfaccia ossido-semiconduttore è presente una discontinuità, poiché la componente normale del campo elettrico ai lati dell’inter¬faccia si conserva anche se le costanti dielettriche ϵ_ox e ϵ_s dei due materiali sono differenti: ϵ_ox Ε_ox=ϵ_s 〖Ε_s〗_0 dove: {■(ϵ_ox=〖ϵ_r〗_ox⋅ϵ_0,&〖ϵ_r〗_ox=3,9 "(biossido di silicio)" @ϵ_s=〖ϵ_r〗_s⋅ϵ_0,&〖ϵ_r〗_s=11,7 "(silicio)" )┤ Poiché il campo elettrico è inversamente proporzionale alla costante dielettrica, l’uso di dielettrici ad alta costante dielettrica permette di ridurre il campo elettrico in modo da mantenere costante la tensione di soglia Ε_ox t_ox del transistore ad un maggiore spessore t_ox in modo da minimizzare l’effetto tunnel. 8 Integrando ancora si ricava il potenziale: dφ/dx=-Ε La tensione di banda piatta V_FB è la differenza di potenziale tra il bulk e il gate: -V_FB=V_ox+V_s

Assenza di equilibrio in regime stazionario nel tempo Lo strato isolante intermedio impedisce il passaggio di corrente → il transistore si comporta come un circuito aperto: scorre corrente I_G nulla → non c’è caduta di potenziale sulle regioni neutre, cioè V_1=0 sul gate e V_2=0 nella parte non svuotata del bulk, indipendentemente dalla tensione V_G applicata → la tensione V_G si sovrappone solo alla tensio¬ne di banda piatta -V_FB che si ha all’equilibrio sullo strato isolante (V_ox) e sulla regione svuotata del bulk (V_s): V_3=V_ox+V_s=-V_FB+V_G   V_G=V_FB: Condizione di banda piatta 10 La condizione di banda piatta si ha quando si applica una tensione V_G pari alla tensione di banda piatta V_FB, quindi quando è nulla la caduta di potenziale V_3 agli estremi della densità di carica ρ. Per l’equazione di Poisson la densità ρ è nulla → si annullano le cariche della regione di svuotamento e sull’interfaccia. Il diagramma a bande è rettilineo e analogo a quello precedente alla formazione della giunzione, perché il salto di energia -qV_FB viene compensato totalmente dall’esterno. Il livello di Fermi non è più costante, ma continua a esserlo se si considerano singolarmente le due regioni neutre.

V_FB<V_G<V_th: Svuotamento di lacune 13 Al crescere della tensione applicata V_G aumenta la curvatura delle bande, fino a che V_G raggiunge il valore di soglia V_th e il livello di Fermi intrinseco 〖E_F〗_i arriva ad intersecare il livello di Fermi del semiconduttore 〖E_F〗_s. 17-18 La tensione di soglia V_th vale: V_th=V_FB+2ϕ_p+γ_B √(2ϕ_p-V_B ) dove: • ϕ_p il salto di potenziale tra il livello di Fermi e quello intrinseco della regione neutra del bulk: qϕ_p=〖E_F〗_i-E_F=V_T ln⁡〖N_A/n_i 〗 • γ_B è il coefficiente di substrato (o di effetto body): γ_B=√(2qϵ_s N_A )/C_ox • V_B è il potenziale a cui si trova il bulk. L’effetto body (o di substrato) è legato alla variazione, in funzione di V_B, della tensione di soglia V_th rispetto alla tensione di soglia 〖V_th〗_0 che si ha quando il bulk è a massa (V_B=0): V_th=〖V_th〗_0+ΔV_th (V_B )=├ V_th ┤|_(V_B=0)+γ_B [√(2ϕ_p-V_B )-√(2ϕ_p )]

V_G>V_th: Inversione di popolazione 13 Oltrepassando il valore di soglia V_th, all’interfaccia ossido-semiconduttore (x=0^+) il livello di Fermi intrinseco 〖E_F〗_i scende sotto il livello di Fermi 〖E_F〗_s, e la concentrazione n(x) di elettroni liberi non è più trascurabile ma cresce esponenzialmente: 〖E_F〗_i (0^+ )<〖E_F〗_s⇒n(0^+ )=n_i e^((〖E_F〗_s-〖E_F〗_i (0^+ ))/(k_B T))>n_i 14 Alla carica Q_d=-qN_A x_p dovuta allo svuotamento di lacune si aggiunge quindi una carica Q_n legata a questi elettroni liberi, detta carica di inversione. Lo strato di elettroni liberi, detto canale, ha uno spessore infinitesimo a causa della relazione di tipo esponenziale; nell’approssimazione di carica superficiale, il canale assume u¬no spessore nullo rappresentato con una delta di Dirac che, per la condizione di neutralità, rimane compensata dalla delta di Dirac nel metallo associata alla carica positiva Q_t=-Q_d-Q_n. 15-16 La carica di inversione Q_n cresce (in valore assoluto) linearmente con la tensione V_G>V_th: Q_n=-C_ox (V_G-V_th ) dove il coefficiente angolare della retta è la capacità per unità di superficie dell’ossido C_ox (u.m. F⁄〖cm〗^3 ): C_ox=ϵ_ox/t_ox

Il transistore MOSFET Definizione e struttura 25 Il sistema nMOS, usato in regione di inversione (V_G>V_th), è la base dei transistori nMOS a effetto di campo (FET), che sono dei di¬spositivi a 3 terminali dove la caratteristica di uscita I_DS (V_G ) dipende dalla tensione di ingresso V_G ma non dalla tensione di uscita V_DS. Il transistore MOSFET è un dispositivo monopolare perché la corrente dipende dal flusso di un solo tipo di portatori. 27-29 Il canale conduttivo di elettroni liberi di lunghezza L che si forma in regione di inversione può essere sfruttato per originare una corrente di drain I_DS che, attraverso la carica Q_n, è controllata dalla tensione di ingresso V_G. Gli elettroni si muovono lungo il canale, per trascinamento dovuto al campo elettrico Ε ⃗, dal terminale di source a quello di drain, e danno origine così a una corrente I_DS positiva dal drain al source. In corrispondenza dei due terminali vi sono due regioni con forte drogaggio n allineate ai lati del gate, che grazie alla loro elevata conducibilità elettrica garantiscono continuità spaziale al passaggio di elettroni. Di solito il source e il bulk sono cortocircuitati (V_BS=0), così da garantire che la tensione di soglia V_th non cambi al variare del potenziale di bulk V_B=V_S.

Regime stazionario nel tempo 30 Si definisce potenziale di canale φ_ch (x) il potenziale della sezione Δx infinitesima del canale rispetto al terminale di source. Il potenziale di canale φ_ch è una funzione crescente lungo x man mano che ci si allontana dal terminale di source , e agli estremi vale: {■(φ_ch (0)=0 "(source)" @φ_ch (L)=V_DS " (drain)" )┤   Regione lineare (V_DS→0^+) 36 Il canale si comporta come un resistore a cui è applicata di caduta di potenziale V_DS. Se il terminale di drain è posto a un potenziale lievemente superiore rispetto al potenziale del terminale di source (V_DS→0^+) in modo che l’effetto del potenziale di canale φ_ch sia minimo, la corrente I_DS cresce linearmente con la tensione V_DS. 39 A parità di tensione V_DS, la pendenza della caratteristica inoltre aumenta al crescere della tensione V_GS perché aumenta il numero di e¬lettroni liberi da spostare nel canale e quindi cresce la transcaratteristica I_DS (V_GS ).

Regione triodo/quadratica (0≪V_DS<〖V_DS〗_S) 31 Il potenziale di canale φ_ch, sottraendosi sempre di più alla tensione V_GS lungo x, ostacola il flusso di elettroni verso il drain: Q_n (x)=-C_ox (V_GS-φ_ch (x)-V_th ) 37-39 e frena quindi il crescere lineare della corrente I_DS a un andamento parabolico con concavità verso il basso: I_DS=β_n [(V_GS-V_th ) V_DS-1/2 〖V_DS〗^2 ] dove: (W è la larghezza del canale) β_n=W/L μ_n C_ox

Punto di strozzamento (V_DS=〖V_DS〗_S) 34 Si verifica lo strozzamento (o pinch-off) del canale se è applicata al terminale di drain una tensione 〖V_DS〗_S che annulla il numero di e¬lettroni liberi in corrispondenza del terminale di drain (x=L): Q_n (L)=-C_ox (V_GS-φ_ch (L)-V_th )=0⇒〖V_DS〗_S=φ_ch (L)=V_GS-V_th 37 L’andamento parabolico si arresta per la seguente tensione di strozzamento 〖V_DS〗_S: ├ (dI_DS)/(dV_DS )┤|_(V_DS=〖V_DS〗_S )=β_n (V_GS-V_th-〖V_DS〗_S )=0⇔〖V_DS〗_S=V_GS-V_th 39 corrispondente al seguente punto di massimo di I_D: I_D (〖V_DS〗_S )=β_n [(V_GS-V_th )^2-1/2 (V_GS-V_th )^2 ]=β_n/2 (V_GS-V_th )^2

Regione di saturazione (V_DS>〖V_DS〗_S) 35 Il punto di strozzamento (Q_n=0) arretra in L^'<L tale che φ_ch (L')=〖V_DS〗_S. 47 Poiché I_DS∝1/L, l’accorciamento, detto modulazione della lunghezza di canale, aumenta la corrente I_DS. 38 Tuttavia, la distanza ΔL=L-L' converge a un valore non troppo grande, cioè l’influenza dell’accorciamento del canale sulla corrente è trascurabile → in regione di saturazione (V_DS>〖V_DS〗_S), al variare della tensione di uscita V_DS la caratteristica di uscita I_DS rimane approssimativamente costante e pari a I_DS (〖V_DS〗_S ) → questa è la regione in cui il sistema nMOS viene usato come transistore digitale. 48 Questo effetto di non idealità è tanto meno trascurabile quanto più è corto il canale, perché variazioni ∆L su una lunghezza L piccola diventano significative. Il coefficiente correttivo λ è legato alla pendenza (idealmente nulla) della caratteristica in regione di saturazione: I_D=β_n/2 (V_GS-V_th )^2 [1+λ(V_DS-〖V_DS〗_S )]

Regione di interdizione (V_GS≤V_th) 25 Se il sistema nMOS si trova al di fuori della regione di inversione, esso si comporta circuitalmente come un circuito aperto (I_DS=0), perché non si sono formati gli elettroni liberi da spostare nel canale. 26 A seconda del segno della tensione di soglia V_th, i transistori nMOSFET si distinguono in: • V_th<0: nMOS a svuotamento o normalmente on (all’equilibrio V_G=0 il canale è già presente); • V_th>0: nMOS ad arricchimento o normalmente off (all’equilibrio V_G=0 il canale non si è ancora formato). 21 Siccome lo strato di ossido è molto sottile ed eventuali cariche fisse non ideali intrappolate al suo interno o sulla superficie possono variare la carica totale e la tensione di banda piatta, 41 è possibile regolare la tensione di soglia V_th impiantando N_D^' atomi donatori nel canale: V_FB^'=V_FB+∆V_th=V_FB+q/C_ox (N_A^'-N_D^' ) 18 in modo che la riduzione della tensione di banda piatta V_FB renda negativa la tensione di soglia V_th: V_th=V_FB^'+2ϕ_p+γ_B √(2ϕ_p-V_B )<0 42 e il transistore nMOS diventi a svuotamento con canale preformato.

Breakdown (V_DS≫〖V_DS〗_S o V_GS≫V_th) La corrente non deve entrare nella regione neutra del bulk attraverso le due giunzioni pn formate tra i terminali drogati n^+ e la regione neutra del bulk drogata p: per avere una corrente nulla (I≃0) quindi queste due giunzioni non devono essere in polarizzazione diretta (V≤0), cioè il un potenziale di bulk V_B dev’essere minore o uguale sia del potenziale di source V_S sia di quello di drain V_D. Se entrambi i terminali di bulk e di source sono posti a massa, sulla giunzione source-bulk è applicata una tensione nulla (V_S=V_B) → basta che la tensione V_DB=V_DS applicata alla giunzione drain-bulk sia positiva o nulla. 49 • V_DS≫〖V_DS〗_S: Una tensione di uscita V_DS eccessiva può però portare una delle due giunzioni al breakdown. Inoltre, l’elevato campo e¬lettrico generato nel canale può provocare un effetto valanga. Elevate tensioni di ingresso V_GS tendono ad amplificare questo effetto, perché il breakdown si instaura prima per tensioni V_GS crescenti. • V_GS≫V_th: Elevate tensioni di ingresso V_GS possono provocare campi elettrici che superano la rigidità dielettrica dell’ossido distruggendolo. 35 Inoltre non si devono superare la tensione, la corrente e la potenza dissipata massime specificate dal produttore del dispositivo. NOTA 46: Si noti il verso della tensione V_DS: se positiva polarizza inversamente la giunzione. Regime dinamico nel tempo Modello statico di piccolo segnale 57-58 Il modello statico di piccolo segnale viene ricavato in regione di saturazione. 〖i_D〗_ss (t)=g_m 〖v_GS〗_ss (t)+g_o 〖v_DS〗_ss (t)+g_mB 〖v_BS〗_ss (t) 59 dove: • g_m è la transconduttanza: g_m=├ (∂i_D)/(∂v_GS )┤|_((〖V_GS〗_0,〖V_DS〗_0,〖V_BS〗_0 ) )=√(2β_n 〖I_D〗_0 ) • g_o è la conduttanza di uscita: g_o=├ (∂i_D)/(∂v_DS )┤|_((〖V_GS〗_0,〖V_DS〗_0,〖V_BS〗_0 ) )=λ〖I_D〗_0 • g_mB è la transconduttanza di substrato:47 g_mB=├ (∂i_D)/(∂v_BS )┤|_((〖V_GS〗_0,〖V_DS〗_0,〖V_BS〗_0 ) )=(γ_B g_m)/(2√(2ϕ_p-〖V_BS〗_0 ))

Modello dinamico di piccolo segnale 61 Nel modello dinamico, gli effetti capacitivi sono rappresentati da condensatori che si aggiungono al circuito equivalente. A frequenze troppo elevate possono però essi degradare le prestazioni del dispositivo.

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