12 L'operatore prodotto di convoluzione è definito in questo modo:
16 La convoluzione tra due segnali , a supporto finito e , a supporto finito :
ha un supporto di ampiezza pari alla somma delle ampiezze: ;
riduce le discontinuità, e in particolare è di classe se le due funzioni sono di classe .
Convoluzione di porte
La convoluzione tra la porta e la porta ha supporto ed è una funzione continua (classe ):
Se la convoluzione è la funzione :
Effettuando infinite convoluzioni si ottiene una gaussiana.
Al contrario, nel dominio delle frequenze il supporto è ristretto all'intervallo di frequenze in cui entrambe le trasformate e non sono nulle:
17 Proprietà
commutativa:
associativa:
distributiva:
Proprietà della delta di Dirac[]
Campionamento[]
20 La moltiplicazione di una funzione per una funzione delta , traslata di , restituisce il campione di in :
e pertanto si può introdurre una semplificazione sostituendo una qualsiasi funzione che assuma lo stesso valore in , in particolare la funzione costante .
Traslazione[]
La convoluzione di una funzione con una funzione delta , traslata di , restituisce il segnale traslato:
Dimostrazione
Proprietà della trasformata di Fourier[]
Linearità[]
3 La trasformata di Fourier e la sua inversa sono operatori lineari:[1]
Anticipo o ritardo[]
4 La trasformata di Fourier del segnale ritardato o anticipato di una fase vale:
Corrisponde graficamente a una rotazione della fase (), mentre il modulo non varia.
Modulazione e traslazione[]
6 La modulazione del segnale , di una frequenza , corrisponde alla traslazione della sua trasformata di Fourier:
7 e si ottiene dalla composizione di due trasformate del segnale una simmetrica all'altra rispetto all'asse verticale:
Scalamento[]
7 Lo scalamento corrisponde a una dilatazione o un restrigimento sull'asse dei tempi, e a rispettivamente un restringimento o una dilatazione sull'asse delle frequenze:
Relazioni di parità[]
10-11 Se il segnale è reale, allora la sua trasformata di Fourier ha le seguenti relazioni di parità:
la parte reale è pari:
la parte immaginaria è dispari:
il modulo è pari:
la fase è dispari:
Se il segnale è reale vale inoltre la simmetria hermitiana (o simmetria coniugata):
Convoluzione e prodotto[]
12 La trasformata di Fourier della convoluzione è pari al prodotto delle singole trasformate:
Derivazione ed integrazione[]
18 Derivazione
Integrazione
19 Dimostrazione
L'integrale fino a si può estendere fino a cancellando la parte a destra di con una funzione gradino:
24 Secondo la proprietà dello scalamento espandere l'asse dei tempi corrisponde a comprimere l'asse delle frequenze.
25 Per valutare quantitativamente la compattezza non si può tuttavia usare il supporto, perché si dimostra che:[2]
se la funzione ha supporto finito, la sua trasformata non ha supporto finito;
se la funzione ha supporto finito, la sua antitrasformata non ha supporto finito.
26 Si definisce estensione temporale:
Si definisce estensione di frequenza:
È possibile dimostrare che vale:
27 L'estensione è il valore quadratico medio di una variabile casuale con distribuzione pari a:
tempo:
frequenza:
Supponendo nullo il valor medio, il valore quadratico medio coincide con la varianza.
Linearità
Anticipo o ritardo
Modulazione e traslazione
Scalamento
Relazioni di parità
Convoluzione e prodotto
Dualità
Esempi di trasformate[]
29 Funzione porta
30 Segnale numerico
Nel trasferimento in modulazione di un segnale digitale, il segnale sagomatore di riferimento viene moltiplicato in ampiezza per +1 o −1 (invertito) a seconda se il bit da trasferire è rispettivamente 1 o 0. Generalizzando da una base binaria a una base qualunque, il segnale sagomatore viene moltiplicato per una opportuna costante , e il segnale digitale sia ottenuto dalla seguente combinazione lineare:
Per la proprietà del ritardo:
Per la proprietà di linearità:
Siccome è a coefficiente della sommatoria, un segnale numerico non può avere un'occupazione spettrale maggiore di quella del segnale sagomatore → l'ampiezza dello spettro del segnale è controllabile tramite un opportuno segnale sagomatore.
Infine per la proprietà di modulazione:
Note[]
↑Questa proprietà discende direttamente dalla linearità dell'operatore integrale.
↑Si noti che se la funzione o la sua trasformata hanno supporto infinito non si può dire niente sul supporto della corrispondente funzione.