Teoria ed elaborazione dei segnali:Segnali a tempo discreto/sub

L'elaborazione numerica dei segnali (ENS) è l'applicazione di un algoritmo ad una serie di numeri che rappresenta un segnale.

6 Un segnale $x \left( n T_c \right)$ è a tempo discreto se è definito rispetto a una variabile indipendente $n$ che assume solo valori interi ($n\in\mathbb{Z}$). Per semplicità si parla di $x \left( n T_c \right)$ come la sequenza $x \left( n \right)$. Il segnale è detto numerico o digitale se assume solo ampiezze discrete.

Classificazione

Durata di una sequenza

11 Una sequenza può avere:

• durata finita: la sequenza è identicamente nulla all'esterno di un intervallo finito di tempo $\left[ n_1 , n_2 \right]$;
• durata infinita: il supporto temporale può essere bilatero ($\left( - \infty , + \infty \right)$) o monolatero ($\left[ n_1 , + \infty \right)$ o $\left( - \infty, n_2 \right)$).

Causalità

12 Una sequenza è:

• casuale se è identicamente nulla per valori di n minori di 0;
• anticasuale se è identicamente nulla per valori di n maggiori o uguali di 0.

Parità

13 Una sequenza $x \left( n \right)$ reale è detta:

• pari se $x \left( n \right) = x \left( - n \right)$;
• dispari se $x \left( n \right) = - x \left( - n \right)$.

14 Una sequenza $x \left( n \right)$ complessa è detta:

• coniugata simmetrica se $x \left( n \right) = x^* \left( - n \right)$;
• coniugata antisimmetrica se $x \left( n \right) = - x^* \left( - n \right)$.

Una qualunque sequenza complessa $x \left( n \right)$ può essere scritta come somma di una sequenza coniugata simmetrica $x_p \left( n \right)$ e di una sequenza coniugata antisimmetrica $x_d \left( n \right)$:

$x \left( n \right) = x_p \left( n \right) + x_d \left( n \right)$

dove:

$\begin{cases} x_p \left( n \right) = \frac{1}{2} x \left( n \right) + {1 \over 2} x^* \left( - n \right) = x_p^* \left( -n \right) \\ x_d \left( n \right) = {1 \over 2} x \left( n \right) - {1 \over 2} x^* \left( - n \right) = -x_d^* \left( - n \right) \end{cases}$

Dimostrazione

$x \left( n \right) = {1 \over 2} x \left( n \right) + {1 \over 2} x \left( n \right) = \underbrace{{1 \over 2} x \left( n \right) + {1 \over 2} x^* \left( - n \right)}_{x_p \left( n \right)} + \underbrace{{1 \over 2} x \left( n \right) - {1 \over 2} x^* \left( - n \right)}_{x_d \left( n \right)}$

Periodicità

15 Una sequenza $x \left( n \right)$ è periodica se è possibile trovare un intervallo di tempo $N$ per cui vale la relazione:

$x \left( n \right) = x \left( n \pm N \right) \quad N \in \N$

Il periodo è il più piccolo valore intero positivo di $N$ per cui la sequenza è periodica.

Sequenze limitate in ampiezza

16 Una sequenza $x \left( n \right)$ è limitata se per qualunque istante di tempo discreto $n$ assume valori contenuti entro un intervallo finito $X_0$ (costante reale finita positiva):

$\left| x \left( n \right) \right| \leq X_0 \quad \forall n$

Sequenze sommabili

17 Una sequenza $x \left( n \right)$ è assolutamente sommabile se:

$\sum_{n = - \infty}^{+ \infty} \left| x \left( n \right) \right| \in \R$

Una sequenza $x \left( n \right)$ è quadraticamente sommabile se:

$\sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( n \right) \right|}^2 \in \R$

Sequenze elementari

Sequenza gradino unitario

19 $u \left( n \right) = \begin{cases} 0 , & n < 0 \\ 1 , & n \geq 0 \end{cases}$

Delta di Kroenecher (impulso unitario)

20 $\delta \left( n \right) = \begin{cases} 0, & n \neq 0 \\ 1 , & n = 0 \end{cases}$

21 Qualsiasi segnale $x \left( n \right)$ può essere espresso come somma di impulsi:

$x \left( n \right) = \sum_{i = - \infty}^{+ \infty} x \left ( i \right) \delta \left( n - i \right)$

22 Relazione tra delta numerica e gradino unitario

$u \left( n \right) = \sum_{i = 0}^{+ \infty} \delta \left( n - i \right) = \delta \left( n \right) + \delta \left( n - 1 \right) + \delta \left( n - 2 \right) + \ldots$

$\delta \left( n \right) = u \left( n \right) - u \left( n - 1 \right)$

Sequenza rampa

23 $r \left( n \right) = n u \left( n \right) = \begin{cases} 0 , & n < 0 \\ n , & n \geq 0 \end{cases}$

Sequenza sinc

24 $\mathrm{sinc} \left( \frac{n}{N} \right) = \frac{\sin{\left( \pi \frac{n}{N} \right)}}{\pi \frac{n}{N}} , \quad N \in \N$

Interseca l'asse orizzontale in $N$, $2N$, ecc.

25 Se $N = 1$, la sequenza $sinc \left( n \right)$ coincide con la delta di Kroenecher.

Sequenza triangolo

26 $t_{2N + 1} \left( n \right) = \begin{cases} 1 - \frac{\left| n \right|}{N} , & \left| n \right| \leq N \\ 0 , & \left| n \right| > N \end{cases} , \quad N \in \N$

Sequenza esponenziale

27 $x \left( n \right) = a^n u \left( n \right)$

28 Se $a$ è complesso:

$a = A e^{j \theta} \Rightarrow x \left( n \right) = A^n e^{j n \theta} u \left( n \right)$

Sinusoidi a tempo discreto

32 Proprietà 1

Sinusoidi che differiscono per un numero intero di angoli giro sono indistinguibili nel dominio del tempo discreto:

$A \cos{\left( 2 \pi f_0 n + 2 \pi k n + \theta \right)} = A \cos{\left( 2 \pi f_0 n + \theta \right)} \quad k \in \Z$

33 Proprietà 2

La frequenza delle oscillazioni di una sinusoide a tempo discreto:

• $0 < f_0 < \tfrac{1}{2}$: aumenta all'aumentare di $f_0$;
• $\tfrac{1}{2} < f_0 < 1$: diminuisce all'aumentare di $f_0$.

34 Proprietà 3

Una sinusoide è periodica se il prodotto $N f_0$ è un numero intero:

$x \left( n + N \right) = x \left( n \right) \Rightarrow A \cos{\left( 2 \pi f_0 n + 2 \pi f_0 N + \theta \right)} = \cos{\left( 2 \pi f_0 n + \theta \right)} \quad N \in \Z$

Una sinusoide discreta perciò non necessariamente è periodica di periodo $\tfrac{1}{f_0}$. Se $f_0$ non è un numero razionale, la sinusoide non è periodica ($N$ dev'essere intero).

Operazioni elementari

Somma e prodotto

36 Le operazioni di somma e prodotto si applicano tra coppie di campioni osservati nei medesimi istanti di tempo.

Traslazione e ribaltamento

37 Traslazione

La traslazione consiste nel campio di variabile $n \to n - N$, dove $N \in \N$ è pari al numero di campioni per cui il segnale è ritardato o anticipato:

$y \left( n \right) = x \left( n - N \right)$

Ribaltamento

Il ribaltamento consiste nel cambio di variabile $n \to -n$ e realizza l'inversione dell'asse dei tempi:

$y \left( n \right) = x \left( - n \right)$

39 L'operazione di traslazione ha la precedenza su quella di ribaltamento:

$x \left( n \right) \to x \left( n - N \right) \to x \left( -n -N \right)$

Scalamento temporale

40-41 Sottocampionamento

L'operazione di sottocampionamento corrisponde a costruire la sequenza $y \left( n \right)$ prendendo un campione ogni $D$ della sequenza $x \left( n \right)$:

$y \left( n \right) = D x \left( n \right) \quad D \in \N$

Corrisponde all'operazione di compressione nel dominio del tempo continuo. La funzione Matlab è downsample.

42-43 Sovracampionamento

L'operazione di sovracampionamento corrisponde a costruire la sequenza $y \left( n \right)$ inserendo $I - 1$ zeri tra ogni campione della sequenza $x \left( n \right)$:

$y \left( n \right) = \begin{cases} x \left( \frac{n}{I} \right) & \forall n = \ldots , - 2 I, - I , 0 , + I, +2I , \ldots \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases}$

Corrisponde all'operazione di dilatazione nel dominio del tempo continuo. La funzione Matlab è upsample.

Convoluzione lineare

44 La convoluzione lineare tra due sequenze discrete $x \left( n \right)$ e $y \left( n \right)$ è definita:

$x \left( n \right) * y \left( n \right) = \int_{k = - \infty}^{+ \infty} x \left( k \right) y \left( n - k \right)$

54 Proprietà

Il supporto della convoluzione è pari alla somma dei singoli supporti meno 1.

• commutativa:

  $x \left( n \right) * y \left( n \right) = y \left( n \right) * x \left( n \right)$

• distributiva:

  $x \left( n \right) * \left[ y \left( n \right) + z \left( n \right) \right] = x \left( n \right) * y \left( n \right) + x \left( n \right) * z \left( n \right)$

• associativa:

  $x \left( n \right) * \left[ y \left( n \right) * z \left( n \right) \right] = \left[ x \left( n \right) * y \left( n \right) \right] * z \left( n \right)$

53 La funzione Matlab è conv.

Energia e potenza media

Energia

58

$E_x = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( n \right) \right|}^2$

Per sequenze a energia finita, l'energia non dipende da traslazioni temporali di $x \left( n \right)$:

$E_x = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( n \right) \right |}^2 = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( n - N \right) \right |}^2 \quad \forall N \in \Z$

63 L'energia di un segnale analogico $x \left( t \right)$ è approssimabile alla sua sequenza $x \left( n T_c \right)$ campionata a intervalli $T_c$ molto piccoli:

$E_x = \int_{- \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( t \right) \right|}^2 dt \approx T_c \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( n T_c \right) \right|}^2$

Potenza media

60 Per sequenze a energia infinita è possibile definire la potenza media:

$P_x = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N + 1} \sum_{n = - N}^{+N} {\left| x \left( n \right) \right|}^2$

• Le sequenze a energia finita hanno potenza media nulla.
• Le sequenze a potenza media finita (e non nulla) hanno energia infinita.

59 Esempio

La sequenza gradino unitario $u \left( n \right)$ ha energia infinita ma potenza media finita:

$E_x = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} {\left| u \left( n \right) \right|}^2 = \sum_{n = 0}^{ + \infty} 1 \to + \infty$

$P_x = \lim_{N \to + \infty} \frac{1}{2N + 1} \sum_{n = - N}^{+ N} {\left| u \left( n \right) \right|}^2 = \lim_{N \to + \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n = 0}^{+N} 1 = \lim_{N \to + \infty} \frac{N + 1}{2N+1} = \frac{1}{2}$

61 La potenza media di un segnale periodico è pari alla potenza media calcolata in un suo periodo: La potenza media $P_x$ di un segnale periodico dipende dall'energia del segnale all'interno di un singolo periodo:

$P_x = \frac{1}{N} \sum_{n = 0}^{N - 1} {\left| x \left( n \right) \right|}^2$

64 La potenza di un segnale analogico $x \left( t \right)$ è approssimabile alla sua sequenza $x \left( n T_c \right)$ campionata a intervalli $T_c$ molto piccoli:

$P_x = \lim_{T \to + \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^T {\left| x \left( t \right) \right|}^2 dt \cong \lim_{N \to + \infty} \frac{1}{\left( 2N+1 \right) \cancel{T_c}} \sum_{n = -N}^{+N} {\left| x \left( n T_c \right) \right|}^2 \cancel{T_c}$

Inoltre, se il segnale è periodico:

$P_x = \frac{1}{T} \int_0^T {\left| x \left( t \right) \right|}^2 dt \cong \frac{1}{N \cancel{T_c}} \sum_{n = 0}^{N - 1} {\left| x \left( n T_c \right) \right|}^2 \cancel{T_c}$

Funzioni di correlazione

66-67-68-69	Mutua correlazione	Autocorrelazione
	$R_{xy} \left( n \right) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x^* \left( k + n \right) y \left( k \right)$	$R_x \left( n \right) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x^* \left( k + n \right) x \left( k \right)$
Sequenze a potenza finita	$\Phi_{xy} \left( n \right) = \lim_{N \to + \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{k = - N}^{+N} x^* \left( k + n \right) y \left( k \right)$	$\Phi_x \left( n \right) = \lim_{N \to + \infty} \frac{1}{2N + 1} \sum_{k = -N}^{+N} x^* \left( k+ n \right) x \left( k \right)$
Sequenze periodiche	$\Phi_{xy} \left( n \right) = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N -1 } x^* \left( k+ n \right) y \left(k \right)$	$\Phi_x \left( n \right) = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N -1} x^* \left( k + n \right) x \left( k \right)$
Proprietà	se la sequenza è reale: $R_{xy} \left( n \right) = R_{yn} \left( - n \right)$	$R_x \left( 0 \right) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} {\left| x \left( k \right) \right|}^2 = E_x$

Esempio: segnale radar

66 La funzione di mutua correlazione può essere usata per ricavare informazioni sul grado di similarità tra due sequenze a energia finita.

76 L'eco $r \left( n \right)$ di un segnale radar $x \left( t \right)$ è del tipo:

$r \left( n \right) = \alpha x \left( n - D \right) + g \left( n \right)$

• $\alpha$ è l'attenuazione del segnale;
• $D$ è il ritardo del segnale;
• $g\left(n\right)$ è il rumore.

77 La funzione di mutua correlazione $z \left( n \right)$ ha un picco in $n = D$ → sapendo il ritardo è possibile calcolare la distanza dell'oggetto: $d = \tfrac{D}{2} \cdot c$.

$x \left( n \right)$

$r \left( n \right)$

$z \left( n \right)$