Sistemi e tecnologie elettroniche:Gli amplificatori: comportamento in frequenza

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A2. Gli amplificatori	Sistemi e tecnologie elettroniche	A4. Amplificatore operazionale ideale

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2 Uno stadio amplificatore deve avere una certa risposta in frequenza in base alla frequenza (= rapidità di variazione) del segnale in ingresso.

3 Se vi sono elementi dinamici (induttori, condensatori), l'amplificazione non è più una costante ma dipende dalla frequenza: $A_{V}\left(s\right)$.

Celle del I ordine

Analisi della risposta al gradino nel dominio del tempo

4 Nel dominio del tempo, si studia il comportamento asintotico durante una risposta al gradino $u \left(t \right)$.

3 Gli elementi dinamici introducono un ritardo nella risposta del circuito: per esempio, durante la risposta al gradino di un circuito RC la tensione ai capi del condensatore non assume istantaneamente il valore del gradino (amplificato nel caso degli amplificatori), ma è caratterizzato da un transitorio che tende asintoticamente a tale valore → lo studio di frequenze elevate richiede rapidi transitori.

20 La risposta al gradino di un circuito dinamico del I ordine è definita univocamente dai comportamenti asintotici a $t=0^{+}$ e a $t\rightarrow +\infty$ e dalla costante di tempo $\tau$:

$x\left(t\right)=\left[x\left(0^{+}\right)-x\left(+\infty \right)\right]e^{-{t \over \tau }}+x\left(+\infty \right)=x_{B}e^{-{t \over \tau }}+x_{A}$

I circuiti del II ordine hanno invece una risposta al gradino più complessa.

21 Si dimostra che $\Delta x\left(\tau \right)=\left|x\left(0^{+}\right)-x\left(\tau \right)\right|=0,63\cdot \Delta x=0,63\cdot \left|x\left(0^{+}\right)-x\left(+\infty \right)\right|$ → graficamente la funzione $x \left( t \right)$ assume in $t = \tau$ un valore che è aumentato/diminuito, a partire da $x\left(0^{+}\right)$, del 63% rispetto all'intervallo $\Delta x$ tra $x\left(0^{+}\right)$ e $x\left(+\infty \right)$.

22 Inoltre, la tangente al grafico in $t=0^{+}$ interseca l'asintoto per $x\left(+\infty \right)$ in $t = \tau$. Nell'esempio in figura:

$\left.{dx \over dt}\right\vert _{t=0}=-{x_{B} \over \tau }\Rightarrow {\begin{cases}x\left(t\right)=-{x_{B} \over \tau }t+x\left(0^{+}\right)\\x\left(t\right)=0\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}t=x\left(0^{+}\right)\cdot {\tau \over x_{B}}\\x\left(+\infty \right)=0\end{cases}}\Rightarrow t=\tau$

Analisi del comportamento dinamico nel dominio della frequenza

3 Nel dominio della frequenza, si rappresenta tramite il diagramma di Bode il comportamento dinamico del circuito.

5 La funzione di rete $H\left(s\right)$ è un rapporto di funzioni polinomiali che sono le espressioni di due segnali sinusoidali:

$H\left(s\right)={\frac {s^{n_{z}}\left(z_{1}+s\right)\left(z_{2}+s\right)\cdots }{s^{n_{p}}\left(p_{1}+s\right)\left(p_{2}+s\right)\cdots }}=K\cdot s^{n_{z}-n_{p}}{\frac {\left(1+{s \over z_{1}}\right)\left(1+{s \over z_{2}}\right)\cdots }{\left(1+{s \over p_{1}}\right)\left(1+{s \over p_{2}}\right)\cdots }}$

Gli zeri sono le radici del numeratore (di cui $n_z$ nulle), i poli sono le radici del denominatore (di cui $n_p$ nulle). I poli sono una caratterizzazione univoca del comportamento del circuito, indipendentemente dalla funzione di rete. Il diagramma di Bode è la rappresentazione grafica della funzione di rete $H\left(s\right)$ nella sua restrizione ai numeri complessi $H\left(j\omega \right)$ (cioè l'amplificazione di tensione $A_{V}\left(j\omega \right)$ nel caso particolare degli amplificatori), in funzione della frequenza angolare $\omega$ (u.m. rad/s) espressa in scala logaritmica.

6 L'espressione in decibel (dB) del modulo della funzione di rete $\left|H\left(j\omega \right)\right|$ (cioè il guadagno di potenza $G_{P}$ nel caso particolare degli amplificatori) è, sostituendo $s$ con $j\omega$ e applicando le proprietà dei logaritmi e dei numeri complessi:

$\left|H\left(j\omega \right)\right|\left({\text{dB}}\right)=20\log _{10}{\left|H\left(j\omega \right)\right|}=20\log _{10}{\left|K\right|}+20\left(n_{z}-n_{p}\right)\log _{10}{\omega }+20\sum \nolimits _{i}{\log _{10}{\sqrt {1+{\frac {{\omega }^{2}}{{z_{i}}^{2}}}}}}-20\sum \nolimits _{j}{\log _{10}{\sqrt {1+{\frac {{\omega }^{2}}{{p_{j}}^{2}}}}}}$

Il diagramma di Bode è dato dalla somma dei contributi dei singoli termini:

• la costante $K$ contribuisce con una retta orizzontale;
• ogni zero nullo contribuisce con una retta di pendenza 20 dB/dec passante per $\left(z,\,20\log _{10}{z}\right)=\left(1\;{\text{rad}}/{\text{s}},\,0\;{\text{dB}}\right)$;
• 7 ogni zero non nullo contribuisce con una spezzata composta da:
  • a sinistra dello zero, una retta orizzontale costante:

    $\omega \ll z_{j}\Rightarrow 20\log _{10}{\sqrt {1+{\frac {{\omega }^{2}}{{z_{j}}^{2}}}}}\simeq 20\log _{10}{1}=0\;{\text{dB}}$

  • in corrispondenza dello zero, uno scostamento verticale di entità trascurabile:

    $\omega \simeq z_{j}\Rightarrow 20\log _{10}{\sqrt {1+{\frac {{\omega }^{2}}{{z_{j}}^{2}}}}}\simeq 20\log _{10}{\sqrt {2}}\simeq 3\;{\text{dB}}$

  • a destra dello zero, una retta di pendenza 20 dB/dec intersecante l'asse orizzontale nello zero:

    $\omega \gg z_{j}\Rightarrow 20\log _{10}{\sqrt {1+{\frac {{\omega }^{2}}{{z_{j}}^{2}}}}}\simeq 20\log _{10}{\frac {\omega }{z_{j}}}\;{\text{dB}}$

• ogni polo contribuisce con una spezzata analoga a quella degli zeri, ma con pendenza negativa.

7 Per i tratti a pendenza 20 dB/dec, i rapporti tra frequenze e i rapporti tra ampiezze sono uguali.

Filtro passa-alto

Se si pone un condensatore in serie al flusso di segnale si ottiene un filtro passa-alto.  

Analisi nel tempo di una cella RC passa-alto

10 Applicando un segnale a gradino a una cella RC passa-alto, la tensione di uscita $V_2$:

${\begin{cases}V_{2}\left(t\right)=\left[V_{2}\left(0^{+}\right)-V_{2}\left(+\infty \right)\right]e^{-{t \over \tau }}+V_{2}\left(+\infty \right)=V_{B}e^{-{t \over \tau }}+V_{A}\\V_{2}\left(0^{+}\right)=V_{1}\\V_{2}\left(+\infty \right)=0\end{cases}}\Rightarrow V_{2}\left(t\right)=V_{1}e^{-{t \over \tau }}$

presenta una risposta transitoria che ha nel tempo un andamento esponenziale decrescente.

11 Il grafico di $V_2$ è toccato in $t=0^{+}$ dalla retta tangente:

$V_{2}\left(t\right)=mt+V_{2}\left(0^{+}\right)$

di coefficiente angolare $m$:

$m=\left.D_{t}\left(V_{2}\left(t\right)\right)\right\vert _{t=0^{+}}=D_{t}\left.\left(V_{2}\left(0^{+}\right)e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)\right\vert _{t=0^{+}}=V_{2}\left(0^{+}\right)\left.\left(-{\frac {1}{\tau }}e^{-{t \over \tau }}\right)\right\vert _{t=0^{+}}=-{\frac {1}{\tau }}V_{2}\left(0^{+}\right)$

che interseca l'asse delle ascisse $t$ nel punto $t = \tau$:

$V_{2}\left(t\right)=0\Rightarrow 0=V_{2}\left(0^{+}\right)\left(-{\frac {1}{\tau }}t+1\right)\Rightarrow t=\tau$

Per questo motivo, la costante di tempo $\tau$ è detta costante di decadimento.

Analisi in frequenza di una cella RC passa-alto

9 Il condensatore posto in serie al flusso di segnale si comporta come un filtro passa-alto, cioè attenua in dB a basse frequenze:

• i segnali a bassa frequenza ($\omega \ll {\tfrac {1}{\tau }}$) non passano: il condensatore si comporta come un circuito aperto → $V_{2}=0$;
• i segnali ad alta frequenza ($\omega \gg {\tfrac {1}{\tau }}$) passano: il condensatore si comporta come un cortocircuito → $V_{2}=V_{1}$.

Applicando il partitore di tensione sulla resistenza, si trova la seguente funzione di rete:

$H\left(s\right)={\frac {V_{2}}{V_{1}}}={\frac {s\tau }{s\tau +1}}$

avente uno zero nell'origine ($\omega =z=1\,{\text{rad/ms}}$) e un polo in $\omega =p={\tfrac {1}{\tau }}\,{\text{rad/ms}}$, con $\tau =RC$.

17 I segnali ad alta frequenza in realtà vengono epurati della loro componente continua (DC), cioè viene mantenuta solamente la sinusoide azzerando il valor medio attorno a cui essa oscilla.

Amplificatore con cella RC passa-alto

13 Introducendo, come impedenza del generatore reale, un condensatore in serie nella linea di ingresso di un amplificatore, esso si comporta come un filtro passa-alto, 14 filtrando le componenti continue dei segnali sinusoidali in ingresso e 15 rispondendo con un transitorio agli ingressi a gradino.

16 Posto $A_V$ costante, la tensione $V_1$ filtrata dalla cella RC viene poi amplificata nella tensione $V_{C}=A_{V}V_{1}$ di uscita dell'amplificatore. La funzione di rete ${\tfrac {V_{C}}{V_{G}}}\left(s\right)$ complessiva:

${\begin{cases}V_{1}=H\left(s\right)\cdot V_{G}\\V_{C}=A_{V}\cdot V_{1}\end{cases}}\Rightarrow {\frac {V_{C}}{V_{G}}}=A_{V}\cdot H\left(s\right)$

presenta un diagramma di Bode analogo a quello della funzione di rete $H\left(s\right)$ della singola cella RC, ma per le proprietà dei logaritmi con sfalsamento costante pari a $20\log _{10}{A_{V}}$:

$\left|{\frac {V_{C}}{V_{G}}}\left(j\omega \right)\right|\left({\text{dB}}\right)=\left|A_{V}\cdot H\left(j\omega \right)\right|\left({\text{dB}}\right)=A_{V}\left({\text{dB}}\right)+\left|H\left(j\omega \right)\right|\left({\text{dB}}\right)=20\log _{10}{A_{V}}+20\log _{10}{\left|H\left(j\omega \right)\right|}$

Condensatori di disaccoppiamento tra stadi amplificatore in cascata

39 Se due stadi amplificatore sono posti in cascata separati da un condensatore di disaccoppiamento, il condensatore si comporta come un filtro passa-alto. La costante di tempo τ è uguale al prodotto tra la capacità $C$ e la resistenza equivalente $R_{\text{eq}}=R_{{\text{u}}_{1}}+R_{{\text{u}}_{2}}$ vista ai capi del condensatore allo spegnimento di tutti i generatori indipendenti.

Filtro passa-basso

A differenza di quello passa-alto, in un filtro passa-basso l'uscita viene presa ai capi del condensatore.

Analisi nel tempo di una cella RC passa-basso

18 Nella risposta al gradino, la tensione di uscita $V_2$ ha un andamento esponenziale crescente:

${\begin{cases}V_{2}\left(t\right)=\left[V_{2}\left(0^{+}\right)-V_{2}\left(+\infty \right)\right]e^{-{\frac {t}{\tau }}}+V_{2}\left(+\infty \right)=V_{B}e^{-{\frac {t}{\tau }}}+V_{A}\\V_{2}\left(0^{+}\right)=0\\V_{2}\left(+\infty \right)=V_{1}\end{cases}}\Rightarrow V_{2}\left(t\right)=V_{1}\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)$

Analisi in frequenza di una cella RC passa-basso

18 Un filtro passa-basso consente il passaggio di segnali solo al di sotto di una certa frequenza. La funzione di rete $H\left(s\right)$ ha un polo a frequenza $\omega ={\tfrac {1}{\tau }}$:

$H\left(s\right)={\frac {V_{2}}{V_{1}}}={\frac {1}{s\tau +1}}$

Il diagramma di Bode presenta un'attenuazione in dB dei segnali ad alta frequenza ($\omega \gg {\tfrac {1}{\tau }}$).  

Amplificatore con cella RC passa-basso

19 La funzione di rete complessiva di un amplificatore passa-basso è:

${\begin{cases}V_{C}=A_{V}V_{1}{\frac {Z_{C}}{Z_{C}+R_{U}}}\\V_{1}=V_{G}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{G}}}\end{cases}}\Rightarrow {\frac {V_{C}}{V_{G}}}=A_{V_{1}}\left(s\right)=A_{V}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{G}}}{\frac {Z_{C}}{Z_{C}+R_{u}}}=A_{V}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{G}}}{\frac {R_{C}}{R_{C}+R_{u}}}{\frac {1}{1+sC_{1}{\frac {R_{C}R_{u}}{R_{C}+R_{u}}}}}$

con $Z_{C}=C_{1}||R_{C}$.

A $t\rightarrow +\infty$ nel dominio del tempo e per $\omega \rightarrow 0$ nel dominio della frequenza il condensatore si comporta come un circuito aperto, e il circuito diventa un normale stadio amplificatore con un generatore reale in ingresso e una resistenza di carico $R_{C}$ in uscita:

${\frac {V_{C}}{V_{G}}}=A_{V_{1}}\left(\omega \rightarrow 0\right)=A_{V}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{G}}}{\frac {R_{C}}{R_{C}+R_{u}}}$

Pertanto la funzione di rete complessiva si può scrivere come il prodotto tra il valore in banda passante dell'amplificazione $A_{V_{1}}$ ($\omega \rightarrow 0$) e un termine legato al comportamento passa-basso:

${\frac {V_{C}}{V_{G}}}=A_{V_{1}}\left(s\right)=A_{V_{1}}\left(\omega \rightarrow 0\right)\cdot {\frac {1}{1+sC_{1}{\frac {R_{C}R_{u}}{R_{C}+R_{u}}}}}=A_{V_{1}}\left(\omega \rightarrow 0\right)\cdot {\frac {1}{1+s\tau }}$

dove vale ancora: $\tau =C_{1}\cdot \left(R_{C}||R_{u}\right)=R_{\text{eq}}C$.

Filtro passa-banda

23 Il circuito in figura presenta un condensatore di disaccoppiamento all'ingresso (cella passa-alto) e un carico reattivo all'uscita (cella passa-basso). I due condensatori si dicono disaccoppiati dal generatore di tensione interno all'amplificatore.

Analisi in frequenza

24 Il diagramma di Bode risulta dalla composizione dei due filtri passa-alto e passa-basso, aventi rispettivamente costanti di tempo ${\tau }_{1}$ e ${\tau }_{2}$ e poli ${\omega }_{1}$ e ${\omega }_{2}$, posti in cascata al flusso di segnale:

$V_{C}=A_{V}V_{G}{\frac {sC_{2}R_{2}}{1+sC_{2}R_{2}}}\cdot {\frac {1}{1+sC_{1}\left(R_{1}+R_{G}\right)}}=A_{V}V_{G}{\frac {s{\tau }_{1}}{1+s{\tau }_{1}}}\cdot {\frac {1}{1+s{\tau }_{2}}}$

Si definisce banda passante $B_{p}$ lo spettro di frequenza compreso tra la frequenza di taglio inferiore $f_1$ e la frequenza di taglio superiore $f_2$:

• la frequenza di taglio inferiore $f_{1}={\tfrac {{\omega }_{1}}{2\pi }}$ corrisponde a un'attenuazione di 3 dB rispetto al valore massimo dovuta al filtro passa-alto;
• la frequenza di taglio superiore $f_{2}={\tfrac {{\omega }_{2}}{2\pi }}$ corrisponde a un'attenuazione di 3 dB rispetto al valore massimo dovuta al filtro passa-basso.

Mentre per annullare l'effetto passa-alto basta rimuovere il condensatore in ingresso, l'effetto passa-basso non si può eliminare a causa degli effetti di tipo capacitivo propri dei transistori, che sono dei dispositivi a semi-conduttore, di cui è composto l'amplificatore stesso.

Analisi nel tempo

28 La risposta nel tempo all'onda quadra (= successione di gradini alternati con periodo $T$) è una sovrapposizione dei transitori passa-alto e passa-basso. I ritardi e le rapidità con cui si manifestano i comportamenti passa-alto e passa-basso dipendono dall'ordine di grandezza del periodo $T$ dell'onda quadra rispetto agli ordini di grandezza delle costanti di tempo ${\tau }_{1}$ e ${\tau }_{2}$ associate rispettivamente ai comportamenti passa-alto e passa-basso:

• se $T\ll {\tau }_{1}\Rightarrow {\overline {\omega }}\ll {\omega }_{2}$: il comportamento passa-alto è trascurabile perché il suo transitorio si manifesta con troppo ritardo → prevale il comportamento passa-basso: allo sbalzo di tensione il segnale è totalmente attenuato, ma questa attenuazione si riduce durante il tratto costante;
• se $T\gg {\tau }_{2}\Rightarrow {\overline {\omega }}\ll {\omega }_{2}$: il comportamento passa-basso è trascurabile perché il suo transitorio si esaurisce subito → prevale il comportamento passa-alto: al termine del breve transitorio passa-basso il segnale è totalmente amplificato, ma questa amplificazione si riduce durante il tratto costante.

Amplificatore in continua

35 Gli amplificatori in continua (es. alimentatori) 36 forniscono segnali DC a tensione costante (→ $\omega=0$) indipendentemente dal carico, 37 perché hanno una frequenza di taglio inferiore ${\omega }_{1}=0$.

Celle del II ordine

A seconda del tipo di segnale su cui deve operare, un amplificatore deve garantire una banda passante entro la quale rientrino tutte le possibili frequenze del tipo di segnale:

• 29 amplificatori a larga banda (audio): banda di ampiezza ~Mhz centrata intorno a basse frequenze ~Mhz (es. altoparlante);

Amplificatori accordati

• 30 amplificatori accordati (di potenza RF): banda di ampiezza ~Mhz centrata intorno ad alte frequenze ~Ghz (es. microfono).

31 Gli amplificatori accordati sono di solito realizzati con celle reattive del II ordine, cioè circuiti risonatori aventi un induttore e un condensatore nella stessa maglia. Un circuito risonatore è caratterizzato da una funzione di trasferimento a poli complessi coniugati del tipo:

$H\left(s\right)=K\left(s\right)\cdot {\frac {1}{s^{2}+2\xi {\omega }_{n}s+{{\omega }_{n}}^{2}}}$

dove:

• ${\omega }_{n}$ è la frequenza di risonanza;
• $\xi$ ("xi") è lo smorzamento.

32 L'amplificatore con cella LC è un amplificatore accordato con impedenza di carico costituita dal parallelo di un induttore $L$, un condensatore $C$ e un resistore $R_{C}$.

Analisi in frequenza di un amplificatore accordato con cella LC

33 Tramutando internamente all'amplificatore la serie generatore di tensione-resistore nel parallelo generatore di corrente-resistore, si trova la seguente funzione di rete $H\left(s\right)$:

$I_{R_{C}}={\frac {G_{m}V_{i}}{R_{u}}}\cdot {\frac {\frac {1}{R_{C}}}{R_{C}||R_{u}||L||C}}\Rightarrow H\left(s\right)={\frac {V_{u}}{V_{i}}}={\frac {G_{m}}{R_{u}}}\cdot {\frac {1}{R||L||C}}={\frac {G_{m}}{R_{u}}}{\frac {s}{C}}\cdot {\frac {1}{s^{2}+{\frac {1}{RC}}s+{\frac {1}{LC}}}}$

dove:

${\begin{cases}2\xi {\omega }_{n}={\frac {1}{RC}}\\{{\omega }_{n}}^{2}={\frac {1}{LC}}\end{cases}}\Rightarrow {\begin{cases}\xi ={\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {L}}{R{\sqrt {C}}}}\\{\omega }_{n}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}\end{cases}}$

il cui modulo ha un andamento in frequenza "a campana" di ampiezza ∼$\xi$ centrata attorno a ${\omega }_{n}$.

Analisi nel tempo di un amplificatore accordato con cella LC

34 Se la resistenza di perdita è sufficientemente piccola → $\xi$ non è troppo elevato, le risposte al gradino e all'impulso presentano un andamento oscillante di periodo $T={\tfrac {1}{{\omega }_{n}}}$ con uno smorzamento proporzionale a $\xi$.

Da rete a doppio bipolo

40 Si opera in maniera analoga agli amplificatori resistivi in continua, tenendo conto che i 3 parametri $Z_{i}\left(s\right)$, $Z_{u}\left(s\right)$ e $A_{V}\left(s\right)$ possono essere complessi.

Linearità e non linearità

Rappresentazione della relazione tra ingresso e uscita

43 La relazione tra tensione di ingresso $V_{i}\left(t\right)$ e tensione di uscita $V_{u}\left(t\right)$ di un dispositivo si può rappresentare attraverso:

• due grafici separati di $V_{i}\left(t\right)$ e $V_{u}\left(t\right)$;
• il grafico della funzione di trasferimento $H\left(s\right)={\frac {V_{u}\left(s\right)}{V_{i}\left(s\right)}}$;
• il grafico della transcaratteristica $V_{u}\left(V_{i}\right)$: è variabile a seconda di $\omega$ → è difficile rappresentare comportamenti dovuti a bipoli dinamici.

Moduli lineari

44 Il grafico della transcaratteristica ideale è una retta passante per l'origine.

45 Il grafico della transcaratteristica di un modulo lineare è una retta che si discosta dall'idealità in base a 3 parametri, a 2 a 2 indipendenti:

• guadagno $\Delta K$: differenza di pendenza tra i due andamenti rettilinei;
• offset $\Delta U$ (verticale): valore di uscita a ingresso nullo;
• offset $\Delta I$ (orizzontale): valore d'ingresso che annulla l'uscita.

Moduli non lineari

46 Il grafico della transcaratteristica di un modulo non lineare non ha andamento rettilineo, e non vale più il principio di sovrapposizione degli effetti.

47 Il circuito raddrizzatore è un modulo non lineare, ma lineare a tratti, che restituisce in uscita solo le tensioni d'ingresso positive:

$V_{u}={\begin{cases}0\quad {\text{se}}\,V_{i}<0\\V_{i}\quad {\text{se}}\,V_{i}\geq 0\end{cases}}$

48 Altri moduli permettono di saturare un ingresso di tipo sinusoidale entro un certo intervallo di valori.

Moduli reali

• 49 limiti di dinamica: tutti i moduli reali non sono lineari, ma alcuni sono approssimabili linearmente, cioè la transcaratteristica è approssimabile a una retta (per esempio la tangente) entro una restrizione di valori in ingresso, 50 cioè limitando le dinamiche d'ingresso e uscita, che sono strettamente correlate tra loro attraverso la pendenza della retta; in uno stadio amplificatore, la dinamica di uscita è limitata dalla dinamica delle tensioni di alimentazione, in particolare superiormente a $+{V_{\text{AL}}}_{1}$ e inferiormente a $-{V_{\text{AL}}}_{2}$;
• limiti fisici: se la tensione in ingresso è troppo elevata può danneggiare il modulo, soprattutto se la tensione di alimentazione è bassa;
• 51 limiti di banda: mentre la frequenza massima non può superare i limiti fisici del modulo, la frequenza minima può anche essere scelta nulla, 52 ma è consigliabile limitare anche la frequenza minima per escludere le frequenze basse di rumore.

54 Un amplificatore non lineare introduce una distorsione nel segnale: se per esempio viene fornito in ingresso un segnale con una singola frequenza fondamentale $f_0$, il segnale amplificato sarà caratterizzato anche dalle sue frequenze multiple $2f_{0}$, $3f_{0}$, ecc. dette armoniche. La distorsione armonica totale ${\text{THD}}$ misura il livello di distorsione del segnale amplificato in uscita rispetto alla fondamentale:

${\text{THD}}={\frac {\sum _{i=2}\left|u_{i}\right|}{\left|u_{1}\right|}}$

Note

A2. Gli amplificatori	Sistemi e tecnologie elettroniche	A4. Amplificatore operazionale ideale