Elettronica applicata e misure:Oscilloscopio digitale/sub

2 Uno strumento di tipo digitale è generalmente costituito da 4 parti:

• condizionamento analogico: il segnale di tipo analogico viene trattato in modo che sia nelle condizioni migliori per essere ricevuto dalle parti che seguono (ad es. se il segnale in ingresso ha una dinamica troppo bassa viene amplificato e viceversa);
• convertitore A/D: il segnale analogico viene convertito in segnale digitale;
• memoria di acquisizione: i dati ricevuti vengono immagazzinati;
• visualizzazione: i dati memorizzati vengono fatti vedere all'operatore.

4 L'oscilloscopio digitale è costituito dalle seguenti parti:

• condizionamento analogico: circuiti che comprendono:
  • attenuatore d'ingresso: è costituito da una rete resistiva di partitori;
  • amplificatore d'ingresso;
  • filtro passa-alto: elimina le basse frequenze in continua per la conversione DC/AC; può essere un semplice condensatore in serie;
  • filtro passa-basso: elimina le alte frequenze per evitare danni allo strumento e per ridurre l'aliasing;
• convertitore A/D:
  • flash-converter: ha un'elevata frequenza di campionamento (costante ~1 GHz/s per motivi progettuali), ma la risoluzione possibile è molto bassa (6-8 bit);
  • soluzione costosa: è anche possibile utilizzare una CPU che gestisca l'intera conversione;
• memoria di acquisizione: è una memoria abbastanza elevata;
• visualizzazione: è effettuata attraverso un host computer.

Conversione A/D

11 Il teorema del campionamento permette di trovare:

• la frequenza di campionamento minima da utilizzare;
• quale elaborazione è necessario effettuare affinché l'informazione che conteneva il segnale analogico (potenza del continuo) sia la stessa che contiene il segnale digitale (potenza del discreto).

Il segnale analogico $x \left( t \right)$ si traduce in una sequenza di campioni $x \left[ n T_C \right]$ (dove $T_C = \tfrac{1}{F_C}$); al di fuori degli istanti di campionamento il segnale analogico non è definito.

12 Si definisce banda la frequenza $B$ al di sopra della quale la trasformata di Fourier è nulla e il segnale non ha più energia → la sua ampiezza è nulla.

Teorema di Shannon

Se:

• il segnale analogico è limitato in banda, cioè con trasformata di Fourier $X \left( f \right) = 0$ per $f > B$;
• la frequenza di campionamento $F_C > 2 B$;

allora il campionamento non introduce perdita di informazione.

Ricostruzione ideale

13 La formula di pesatura sinc:

$x \left( t \right) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} x \left[ n T \right] \frac{\sin{\pi F_C \left( t - n T_C \right)}}{\pi F_C \left( t - n T_C \right)}$

è una funzione dipendente dal tempo, del tipo $\tfrac{\sin{x}}{x}$, che permette di ricostruire il segnale tempo-continuo a partire dai campioni: si estende sull'intero asse dei tempi, e vale identicamente zero a ogni istante di campionamento.

14 Tramite la trasformata di Fourier della formula di pesatura sinc si ottiene graficamente su scala lineare il filtro passa-basso ideale per segnali complessi. I segnali reali hanno la proprietà di avere un diagramma di spettro simmetrico rispetto all'asse verticale → normalmente si traccia su scala logaritmica la parte corrispondente alle frequenze positive. Il filtro è ideale perché:

• la pendenza a frequenza $\tfrac{F_C}{2}$ è verticale → è come se il numero dei poli è infinito;
• nella banda il grafico si mantiene costante → non distorce il segnale.

15 Il segnale è dato dalla somma di diversi ricostruttori. A ogni istante di campionamento, uno solo dei ricostruttori vale 1 e tutti gli altri valgono 0.

Ricostruzione reale

Nella realtà il teorema di Shannon non è realizzabile: non esistono segnali a banda limitata, e i limiti della frequenza di campionamento sono legati a quelli fisici dello strumento convertitore. Serve quindi un filtro passa-basso che restringa la banda del segnale in modo che non sia troppo alta rispetto alla frequenza di campionamento.

Siccome il segnale si estende da $+\infty$ a $-\infty$, è teoricamente necessario interpolare infiniti campioni. Inoltre il sistema è anticipativo: per ricostruire un segnale in un certo istante bisogna conoscere anche tutti i campioni successivi del futuro. Si possono adottare due soluzioni:

1. siccome la funzione sinc oscilla sempre più vicina a 0 con il passare del tempo, si può troncarla dopo 4 istanti di campionamento → il segnale di uscita è in ritardo solo di 4 intervalli di campionamento rispetto al segnale di ingresso;
2. si prendono i primi termini della scomposizione in serie di Taylor della funzione sinc, avendo cura di campionare ad una frequenza ben superiore a quella prevista dal teorema di Shannon per ridurre l'incertezza:
   • si può usare un convertitore D/A che necessita di un solo campione per volta: all'interno del segnale ricostruito il valore di un campione viene mantenuto costante tra un campione e l'altro;
   • interpolatore a onda triangolare: si interpolano 2 campioni ottenendo una sequenza di segmenti → il campionamento in ogni istante richiede di conoscere il campione nell'istante successivo → il segnale di uscita è in ritardo di 1 intervallo di campionamento;
   • un interpolatore parabolico si poggia su 3 campioni, un interpolatore cubico si poggia su 4 campioni, e così via.

Aliasing

16 Non soddisfare la condizione $F_C > 2 B$ del teorema di Shannon fa perdere informazione alla sequenza generando il fenomeno dell'aliasing. Per ridurre l'incertezza dovuta ad aliasing è necessario aumentare la frequenza di campionamento $F_C$.

Nel dominio del tempo

Si ha aliasing quando il campionamento del segnale viene effettuato troppo lentamente, e il segnale ricostruito ha una frequenza completamente diversa rispetto a quella del segnale originario:

Nel dominio della frequenza

17 L'operazione di campionamento introduce una periodicizzazione dello spettro del segnale con periodo pari alla frequenza di campionamento $F_C$, cioè lo spettro del segnale analogico originario viene replicato a ogni frequenza di campionamento lungo l'asse delle frequenze:

18

Il filtro passa-basso ideale permette di isolare lo spettro del segnale originario se questo è sufficientemente isolato dagli altri.

19 Se la frequenza di campionamento $F_C$ è inferiore al doppio della banda $B$, si verificano sovrapposizioni da aliasing che impediscono di ricostruire il segnale attraverso il filtro passa-basso.

20 Non è quindi possibile osservare segnali con contenuto in frequenza superiore a $\tfrac{F_C}{2}$, altrimenti subentra il fenomeno dell'aliasing.

La massima frequenza di campionamento di un oscilloscopio è strettamente legata ai limiti fisici dello strumento e conseguentemente al suo costo.

Campionamento in tempo equivalente

20-21-22-23 Se il segnale è periodico, o più in generale ripetitivo, si può ricorrere al campionamento in tempo equivalente (o random sampling, o sequential sampling): si campiona il segnale in diversi punti del periodo tra un trigger e l'altro, e alla fine tutti i punti campionati si riuniscono a formare la traccia compresa nel periodo. Questo permette di vedere dei segnali che hanno una banda molto maggiore della frequenza di campionamento. L'unica limitazione è di tipo tecnologica, perché i circuiti che gestiscono il campionamento devono essere molto veloci: per esempio il trigger deve scattare in tempi molto rapidi, e l'orologio che misura gli intervalli di tempo tra il trigger e il campione deve essere molto preciso.

24 Il random sampling è la condizione "normal" dell'oscilloscopio, e permette una banda maggiore (all'incirca fino a 10 volte di più). Per segnali transitori invece va usata la modalità "one-shot" che funziona in tempo reale.

Acquisizione

10 La memoria è gestita come un buffer circolare: giunti alla fine del vettore il riempimento ritorna al suo inizio.

La memoria viene prima riempita dal convertitore, e poi svuotata per la sincronizzazione. La seconda operazione è molto più lenta della prima (memoria fast in slow out), perché il riempimento deve avvenire in maniera sincrona con il convertitore. Se il buffer diventa pieno, l'oscilloscopio può segnalare errore all'operatore oppure può sovrascrivere automaticamente i dati più vecchi.

Visualizzazione

Schermo

6 L'oscilloscopio digitale usa tubi raster al posto dei tubi catodici, e lo schermo è una matrice di pixel. A differenza dello schermo dell'oscilloscopio analogico, che usa un pilotaggio di tipo vettoriale, cioè l'immagine non è disegnata in modo predeterminato ma solo in base al segnale di ingresso, nello schermo dell'oscilloscopio digitale i pixel vengono aggiornati una riga per volta da sinistra verso destra, e ogni pixel viene illuminato o meno dal fascio luminoso. Un colore si ottiene dalla combinazione di tre pixel RGB intervenendo sulle percentuali dei singoli.

7 Il segnale continuo in ingresso viene campionato ogni tot di tempo. La CPU interpola i punti realmente campionati per ottenere una traccia continua.

8 L'oscilloscopio digitale introduce un errore di quantizzazione (~4/1000).

9 L'incertezza dell'oscilloscopio digitale è confrontabile con quella dell'oscilloscopio analogico (~ qualche percento).

Trigger

30 I circuiti che gestiscono il trigger dell'oscilloscopio digitale funzionano in modo molto simile a quelli dell'oscilloscopio analogico, ma sono più complessi e offrono più funzioni, come ad esempio:

• post-trigger: grazie alla presenza della memoria di acquisizione, l'oscilloscopio può visualizzare anche l'andamento del segnale negli istanti di tempo precedenti a quello di trigger (= pre-trigger), e il trigger può venire imposto in qualunque punto dello schermo;
• 31 trigger con isteresi: il trigger viene richiamato al livello S_L solamente se il segnale ha raggiunto il segnale di abilitazione S_H nel periodo di tempo successivo all'ultimo trigger;
• 32 trigger su più canali: il trigger viene richiamato solo se sono soddisfatte nello stesso momento due condizioni imposte su due canali;
• 33 trigger imposto da un pattern:
  • opzione entering: il trigger viene richiamato quando l'ingresso assume la configurazione impostata;
  • opzione exiting: il trigger viene richiamato quando l'ingresso assume una configurazione diversa da quella impostata;
  • 34 il trigger viene richiamato quando l'ingresso assume il pattern impostato per un certo tempo;
  • il trigger viene richiamato quando l'ingresso assume il pattern impostato un certo numero di volte;
  • il trigger viene richiamato quando è verificata la combinazione logica (AND/OR) di più condizioni.

Aliasing

37 Poniamo che sullo schermo siano disponibili $N_V$ pixel, e che la memoria contenga $N_I$ campioni:

• 38 se il numero di campioni $N_I$ nella memoria di acquisizione è maggiore del numero dei campioni $N_V$ che possono essere visualizzati dallo schermo, è necessario selezionare i campioni tramite la decimazione;
• 40 in caso contrario, per poter visualizzare una traccia continua è necessario interpolare i punti con una frequenza equivalente $F_{EV}$ maggiore del doppio della frequenza reale $F_S$ del segnale, rispettando così il teorema di Shannon; 51 l'interpolazione ideale è quella ottenuta con la formula di pesatura sinc, che nella realtà si può troncare causando:
  • fronti ripidi di salita e di discesa non accurati;
  • ondulazioni (fenomeno di Gibbs).

44-45 In alcuni casi, se l'oscilloscopio si limita a visualizzare i punti campionati senza interpolarli, l'occhio umano può commettere un errore di interpolazione (aliasing percettivo) che va imputato all'errata percezione visiva dell'operatore: l'occhio umano associa ad ogni punto quello spazialmente più vicino, mentre la traccia andrebbe ricostruita associando ad ogni punto quello temporalmente più vicino. 46 L'operatore può accorgersi della presenza di aliasing percettivo con una modifica della base tempi.

Opzioni

25 Opzioni di visualizzazione

• Average: calcola la media di più tracce
• Peek/Envelope: mostra il campione massimo e il campione minimo per una serie di tracce
• Cumulative: mostra tutte le tracce senza cancellare lo schermo → persistenza infinita

25 Opzioni di misura

Le misurazioni compiute dall'unità di elaborazione dell'oscilloscopio (ad es. tempo di salita, frequenza, periodo, sfasamento) hanno un'incertezza estremamente bassa (~1/100000). Anche i cursori sono gestiti in modo digitale. Se la CPU è abbastanza potente si può anche ricavare la trasformata di Fourier del segnale (DFT), di solito il quadrato del modulo detto spettro del segnale, tramite l'algoritmo FFT → l'oscilloscopio diventa un analizzatore di spettro.

Oscilloscopi multicanale

26 A seconda del costo del modello di oscilloscopio i canali possono andare da 2 fino a 8. La lettura delle tracce multiple sullo schermo può venire aiutata dall'utilizzo del colore e dalla possibilità di collegare uno schermo esterno. Più di 8 canali sono possibili, per segnali digitali, tramite l'analizzatore di stati logici.

La struttura di un oscilloscopio a due canali, oltre ad avere sempre un blocco di condizionamento per ogni canale, può variare secondo tre possibilità:

• 27 un multiplexer invia ad un unico convertitore A/D alternativamente i campioni pari e quelli dispari (simile alla modalità chopped dell'oscilloscopio analogico) → i campioni di un segnale vengono ottenuti temporalmente sfasati rispetto a quelli dell'altro segnale;
• 28 raddoppia anche il numero di convertitori A/D che scrivono in una stessa memoria di acquisizione → i campioni vengono ottenuti contemporaneamente, ma il tempo di accesso alla memoria deve raddoppiare;
• 29 si usano due memorie di acquisizione.

Specifiche

53 I parametri non sono sempre definiti in modo rigoroso e accettati da tutti i costruttori → è difficile confrontare due oscilloscopi diversi:

• bit equivalenti: l'incertezza non dipende solo dalla risoluzione, ma è maggiore a causa di altre componenti → i bit equivalenti sono i bit di risoluzione che avrebbe un convertitore A/D ideale tenendo conto di tutte le cause di incertezza;
• 54 banda passante: spesso sono riportate due bande passanti, una riferita al campionamento one-shot e l'altra al campionamento casuale; espresse tramite:
  • la frequenza di taglio corrispondente ad un'attenuazione di 3 dB;
  • 55 la frequenza corrispondente ad un'attenuazione di 1 dB;
• 56 frequenza di campionamento: spesso sono riportate due frequenze di campionamento, una riferita al campionamento one-shot e l'altra al campionamento casuale; l'unità di misura è S/s, cioè "sample al secondo" (sample = campione);
• 57 accuratezza statica verticale: è l'incertezza sull'asse verticale e può venire fornita:
  • tramite una proporzione rispetto a un parametro unico (ad esempio: < 2% fondo scala);
  • tramite una formula binomia, cioè la somma di due termini: % fondo scala + quantità fissa;
• 58 caratterizzazione dei valori temporali: è l'incertezza sull'asse dei tempi e può venire fornita:
  • tramite un unico parametro (ad esempio: 0.005% del valore letto);
  • tramite la somma di due termini (ad esempio: ± [% valore letto + valore fisso]).

Collegamenti

Sonde

59 L'oscilloscopio è un carico passivo nei confronti del circuito, e può essere visto dall'esterno come il modello equivalente RC parallelo con impedenza di 1 MΩ/10 pF (con incertezza di qualche %).

Il segnale proveniente dal generatore, reale o equivalente, viene portato all'oscilloscopio tramite dei cavi coassiali. Il cavo coassiale può essere visto in un modello elettrico semplificato, composto da una parte resistiva trascurabile e una parte con capacità $C_{C}$ spesso molto superiore alla capacità $C_I$ dell'oscilloscopio.

All'estremità opposta del cavo coassiale si trova una punta o una pinza, detta sonda, che tocca la fonte del segnale. Il cavo coassiale è circondato da una calza che porta il ritorno di massa. La calza può essere lasciata volante "affidandosi" alla massa dell'oscilloscopio, o può essere collegata al terminale di massa avendo cura di non instaurare delle correnti circolanti, dette loop di massa, causate da una differenza di potenziale rispetto alla massa dell'oscilloscopio.

60 La resistenza di ingresso produce una piccola attenuazione del segnale proveniente dal generatore. All'ingresso vi è anche una reattanza capacitiva che cresce all'aumentare della frequenza del segnale. Questa reattanza crea una rotazione di fase e quindi una distorsione della parte in alta frequenza del segnale, che porta a un'alterazione della forma d'onda. La distorsione è di solito molto inferiore alla banda dell'oscilloscopio, e la rotazione di fase avviene molto prima di quella dovuta all'oscilloscopio.

61 Per ovviare a questo disturbo si usa una sonda compensata: sulla sonda è presente, oltre alla capacità $C_{C}$, un circuito RC con capacità $C_S$ variabile:

62 $V_I = V_S \cdot \frac{\frac{R_I}{1 + j \omega R_I C_P}}{\frac{R_S}{1 + j \omega R_S C_S} + \frac{R_I}{1 + j \omega R_I C_P}}$

63 Imponendo il valore di $C_S$ in modo che $R_I C_P = R_S C_S$:

$V_I = V_S \cdot \frac{R_I}{R_S + R_I}$

viene così eliminata la rotazione di fase perché non c'è più la dipendenza dalla frequenza.

Siccome $R_I \simeq 1 \, \text{M} \Omega$ e $R_S = 9 R_I$, si paga un'attenuazione di 1/10. Per questo motivo le sonde compensate sono anche dette sonde attenuatrici. Inoltre la resistenza di carico in ingresso diventa elevata (~10 MΩ).

64 Per compensare una sonda, ossia per soddisfare la condizione $R_I C_P = R_S C_S$, si usa come segnale di test un'onda quadra, fornita dall'oscilloscopio stesso, e si regola la sua forma d'onda sullo schermo:

• sottocompensata: c'è almeno un polo che provoca un andamento esponenziale;
• sovracompensata: si verifica uno smorzamento.

Circuiti adattati di frequenza

65 Se la banda dell'oscilloscopio è molto larga:

• entra in gioco la velocità di propagazione del segnale attraverso i cavi;
• quando il segnale trova una variazione di impedenza, questa si comporta come un nodo: una parte del segnale viene rimandata indietro → ci sono delle oscillazioni all'interno dei cavi → la forma d'onda è leggermente oscillante.

67 Si risolve il problema usando dei circuiti adattati di impedenza, in modo che per tutta la trasmissione del segnale non ci sia nessuna variazione di impedenza. Si impone una impedenza costante a 50 Ω: l'impedenza di uscita del generatore, l'impedenza caratteristica di ogni cavo:

$Z_0 = \sqrt{\frac{L}{C}} = \sqrt{\frac{{\mu}_r}{{\varepsilon}_r}} \cdot 60,3 \cdot \ln{\frac{D}{d}}$

e l'impedenza di ingresso dell'oscilloscopio devono essere tutte pari a 50 Ω.

Oscilloscopio

Per imporre l'impedenza di ingresso dell'oscilloscopio a 50 Ω è necessario porre un resistore di 50 Ω in parallelo all'ingresso stesso.

Cavo coassiale

Si parla di un circuito a parametri distribuiti:

• l'induttanza distribuita è pari a $L = \frac{\mu \cdot l}{2 \pi} \cdot \ln{\frac{D}{d}}$;
• la capacità distribuita è pari a $C = \frac{2 \pi \varepsilon l}{\ln{\frac{D}{d}}}$;

dove $\tfrac{D}{d}$ è il rapporto tra il diametro esterno $D$ e il diametro interno $d$ del cavo coassiale.

68 I valori di impedenza caratteristica dipendono quindi dai diametri interno ed esterno del cavo coassiale.