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 Una matrice è un insieme di elementi di natura qualsiasi sul quale è stato realizzato un doppio ordinamento di righe parallele e colonne parallele.

$ m $ = numero righe
$ n $ = numero colonne

Se $ m=n $ ho una matrice quadrata.

$ A_{m,n} $ indica una matrice di tipo $ m,n $.


Una matrice generica si indica in questo modo:

$ A_{m,n}=\begin{bmatrix} { a }_{ 1,1 } & { a }_{ 1,2 } & { a }_{ 1,3 } & ... & { a }_{ 1,n } \\ { a }_{ 2,1 } & { a }_{ 2,2 } & { a }_{ 2,3 } & ... & { a }_{ 2,n } \\ ... & ... & ... & & ... \\ { a }_{ m,1 } & { a }_{ m,2 } & { a }_{ m,3 } & ... & { a }_{ m,n } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_{1} \\ \mathbf{a}_{2} \\ ... \\ \mathbf{a}_{m} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{i,k} \end{bmatrix} $

dove $ i=1,2,3...m $ e $ k=1,2,3...n $


 Esempi:

Matrice di tipo 2,3:

$ A_{2,3}=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 5 \\ 0 & 1 & 4 \end{bmatrix} $


Matrice quadrata di ordine 2:

$ A_{2}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} $


Matrice quadrata di ordine 1:

$ A_{1}=\begin{bmatrix} -3 \end{bmatrix} = A\begin{bmatrix} -3 \end{bmatrix} $


Matrice riga (o vettore riga) con $ m=1 $ e $ n\neq1 $:

$ A=\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & ... & a_{1,n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} & ... & a_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{k} \end{bmatrix} $

La matrice riga vista nell'ultimo esempio, si indica con una lettera minuscola in grassetto (o sottolineata).

Se ho invece $ m\neq1 $ e $ n=1 $ si parla di vettore colonna (o vettore trasposto).

 Vettore riga:

$ \mathbf{a}=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 4 \end{bmatrix} $


Vettore colonna (in questo caso, vettore trasposto del vettore riga precedente):

$ \mathbf{a}_{\tau} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix} $

Matrici e vettori uguali e nulli Modifica

 Date due matrici dello stesso tipo (o ordine), queste si dicono uguali se $ a_{i,k} = b_{i,k} $.

L'uguaglianza tra matrici si indica con il simbolo $ \leftrightarrows $

  $ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \leftrightarrows B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} $

La stessa regola vale per i vettori:

  $ \mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \end{bmatrix} \leftrightarrows \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \end{bmatrix} $
 Una matrice si dice nulla quando tutti i suoi elementi solo nulli.

E lo stesso vale per i vettori.

  Le seguenti matrici sono tutte nulle:

$ A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = 0 $

$ B = \begin{bmatrix} 0 \end{bmatrix} = 0 $

$ C = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} = 0 $

$ D = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} = 0 $

Operazioni sulle matrici Modifica

Somma di matrici Modifica

  $ A_{m,n} + B_{m,n} = C_{m,n} $
  $ A_{2,3} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 3 \end{bmatrix} $

$ B_{2,3} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 4 \\ -1 & 0 & 5 \end{bmatrix} $

$ A + B = C $

$ C_{2,3} = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 8 \end{bmatrix} $

Per le matrici vale la proprietà commutativa, per cui:

  $ A + B = B + A $

così come vale la proprietà associativa:

  $ A + B + C = (A + B) + C = A + (B + C) = (A + C) + B $

Queste regole valgono tanto per le matrici quanto per i vettori.

Prodotto di uno scalare per una matrice Modifica

  $ C = \lambda \cdot A $

$ c_{ik} = \lambda a_{ik} $

dove $ \lambda $ è un numero
  Se ho $ A_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} $ e $ \lambda = \frac{1}{3} $

$ C = \frac{1}{3} \cdot A = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{5}{3} \\ \frac{2}{3} & 1 \end{bmatrix} $

Queste regole valgono tanto per le matrici quanto per i vettori.

Prodotto di due matrici Modifica

 Due matrici sono conformabili righe per colonne quando il numero delle colonne della prima è uguale al numero delle righe della seconda (e viceversa). Se due matrici sono conformabili righe per colonne, sono anche moltiplicabili righe per colonne.


  $ A_{m,p} \cdot B_{p,m} = C_{m,n} $

$ c_{ik} = \sum _{r=1}^{p}{( {a}_{i,r} \cdot {b}_{r,k} )} $

  $ C_{3,4} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c_{1,1} & c_{1,2} & c_{1,3} & c_{1,4} \\ c_{2,1} & c_{2,2} & c_{2,3} & c_{2,4} \\ c_{3,1} & c_{3,2} & c_{3,3} & c_{3,4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & ... & ... & ... \\ ... & ... & 37 & ... \\ ... & ... & ... & ... \end{bmatrix} $

dove $ c_{1,1} = 1\cdot1 + 2\cdot5 = 1+10 = 11 $

e $ c_{2,3} = 3\cdot3 + 4\cdot7 = 9+28 = 37 $

Vale la proprietà associativa:

  $ A \cdot (B \cdot C) = (A \cdot B) \cdot C $

ma non vale la proprietà commutativa:

  $ A \cdot B \neq B \cdot A \longrightarrow C_{2} \neq C_{3} $

con un'unica eccezione: la proprietà commutativa vale nel caso di una matrice identica:

  $ I_{n} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $

se $ i=k $, $ a_{i,k} = 1 $; se $ i\neq k $, $ a_{i,k} = 0 $

$ I_{n} \cdot A_{n} = A_{n} \cdot i_{n} = A_{n} $