Algoritmi e programmazione:L'analisi di complessità degli algoritmi

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2 L'analisi di complessità è un metodo formale per prevedere le risorse richieste dall'algoritmo (cioè il tempo di esecuzione e la quantità di memoria utilizzata).

• Il tempo però non è un tempo fisico o misurato sperimentalmente su un processore, ma dipende dal numero di passi → l'analisi di complessità è indipendente dalla macchina. Si assume che la macchina lavori in modo sequenziale e non parallelo (architettura di Von Neumann). 8 Un algoritmo meno complesso su una macchina più lenta può essere più veloce.

• L'analisi è indipendente da quali dati in ingresso ci sono 3 ma è dipendente solo da quanti dati in ingresso ci sono, cioè più in generale dalla dimensione n del problema.

Output

• $ S \left(n\right) $: memoria richiesta
• $ T \left(n\right) $: tempo di esecuzione

4 Classificazione degli algoritmi per complessità (dal meno complesso al più complesso)

• costante: $ 1 $
• logaritmico: $ \log{n} $
• lineare: $ n $
• linearitmico: $ n \log{n} $
• quadratico: $ n^2 $
• cubico: $ n^3 $
• esponenziale: $ 2^n $

Analisi di complessità di caso peggioreModifica

L'analisi di complessità è detta:

• 5 asintotica se il numero di dati tende a infinito;
• di caso peggiore se il tempo stimato non può che essere maggiore o uguale al tempo effettivo su uno specifico dato.

6 Si stima il caso peggiore perché è quello più frequente generalmente, e perché il caso medio spesso è difficile da calcolare o coincide con il peggiore.

9 Ricerca sequenziale

$ T\left(n\right) \propto n $

10 Ricerca dicotomica

Bisogna considerare il caso peggiore: la chiave non si trova. Alla i-esima iterazione, la lunghezza del sottovettore è uguale a $ \tfrac{1}{2^i} $. La terminazione avviene quando il vettore è lungo $ 1 = \tfrac{1}{2^i};\;i = \log_2{n} $.

11 Insertion sort

Nel caso peggiore, ad ogni iterazione del ciclo esterno si fanno i − 1 scansioni del vettore, e all'ultima se ne fanno n − 1:

$ T\left(n\right) = 1 + 2 + \ldots + \left( n - 2 \right) + \left( n - 1 \right) = \frac{n \left( n - 1 \right)}{2} \rightarrow T\left(n\right) \propto n^2 $

NotazioniModifica

O grande ($ O $)Modifica

13 $ T\left(n\right) = O\left(g\left(n\right)\right) \Leftrightarrow \exists c > 0, \, n_0 > 0 : \forall n \geq n_0 \rightarrow 0 \leq T\left(n\right) \leq c \cdot g\left(n\right) $

$ g\left(n\right) $ è un limite superiore lasco:

• superiore: è una funzione maggiorante, a partire da un certo $ n_0 $;
• lasco: non scresce come $ g\left(n\right) $, ma al più come $ g\left(n\right) $.

14 Se $ T\left(n\right) $ è un polinomio in $ n $ di grado $ m $ → $ T\left(n\right) = O\left(n^m\right) $.

Omega grande ($ \Omega $)Modifica

15 $ T\left(n\right) = \Omega \left(g \left( n \right) \right) \Leftrightarrow \exists c > 0, \, n_0 > 0 : \forall n \geq n_0 \rightarrow 0 \leq c \cdot g\left(n\right) \leq T\left(n\right) $

$ g\left(n\right) $ è il limite inferiore lasco della complessità asintotica di caso peggiore (≠ caso migliore). Se si dimostra che, per una certa operazione, la $ \Omega $ è maggiore della complessità lineare, non si potrà mai trovare un algoritmo lineare che svolga quell'operazione.

16 $ T\left(n\right) $ polinomio → $ T\left(n\right) = \Omega \left( n^m \right) $

Theta grande ($ \Theta $)Modifica

17 $ T\left(n\right) = \Theta \left(g \left( n \right) \right) \Leftrightarrow \exists c_1, \, c_2 \, n_0 > 0 : \forall n \geq n_0 \rightarrow 0 \leq c_1 \cdot g\left(n\right) \leq T\left(n\right) \leq c_2 \cdot g\left(n\right) $

$ g\left(n\right) $ è il limite asintotico stretto di $ T\left(n\right) $: $ T\left(n\right) $ cresce come $ g\left(n\right) $.

18 È la combinazione dei due precedenti:

• $ T\left(n\right) $ polinomio → $ T\left(n\right) = \Theta\left(n^m\right) $;
• $ T\left(n\right) = \Theta\left(g\left(n\right)\right) \leftrightarrow T\left(n\right) = O\left(g\left(n\right)\right) \wedge T\left(n\right) = \Omega\left(g\left(n\right)\right) $

Online connectivityModifica

19 L'online connectivity è un problema avente per input un insieme di coppie di interi p e q (per es. i nodi di una rete). (p, q) definisce una relazione di connessione tra i nodi p e q.

Proprietà

• commutativa: se p è connesso con q → q è connesso con p;
• transitiva: se p è connesso con r ∧ q è connesso con r → p è connesso con r.

Le coppie possono essere:

• mantenute: la connessione della coppia non è ancora nota (output: coppia (p, q));
• scartate: la coppia è già connessa, anche per la proprietà transitiva o commutativa (output: nullo).

20 Applicazioni

• reti di computer: ottimizzazione togliendo le connessioni ridondanti;
• reti elettriche;
• linguaggi di programmazione: variabili equivalenti.

La struttura dati a grafo è costituita da 2 insiemi: nodi p e q e archi.

21 Per ottimizzare il grafo, si verifica di volta in volta se la connessione della coppia in input non è ancora nota o se è implicata già dalle precedenti. L'analisi di questo genere presuppone l'esistenza del grafo → non è un'analisi di connettività online.

34 La connettività si dice online se si sta lavorando non su una struttura o su un modello pre-esistente, ma su un grafo che viene costruito arco per arco.

1. 35 ipotesi: si conoscono i vertici, e ogni vertice è connesso solo a se stesso → nessun arco;
2. operazione find (ricerca): a ogni coppia in input, verifica se p e q appartengono allo stesso insieme (2 find);
3. operazione union (unione): se p e q non erano connessi, unisci l'insieme a cui appartiene p (S_p) e l'insieme a cui appartiene q (S_q).

L'online connectivity può essere implementata tramite vettori:

• quick-find: find rapide, union lente;
• quick-union: find lente, union rapide.

Quick-findModifica

37 A seconda del contenuto della cella del vettore:

• se è il suo stesso indice i: il vertice i-esimo è connesso a se stesso;
• se è un altro indice: i due vertici appartengono allo stesso insieme.

Complessità

• 38 find: accesso a una cella di vettore tramite il suo indice: $ O\left(1\right) $
• union: scansione del vettore per cambiare da p a q: $ O\left(n\right) $

Complessità di caso peggiore totale: numero di coppie × dimensioni vettore (n)

39 riferimenti diretti (nessuna catena) → si trova subito il rappresentante

Quick-unionModifica

53 C'è una catena di riferimenti di tipo indiretto. A seconda del contenuto della cella del vettore:

• se è uguale al suo indice i: fine catena;
• se è diverso dal suo indice: passa alla cella i-esima a cui punta: id[id[...id[i]]...] = (id[i])*

Complessità

• 55 find: due elementi sono connessi se (id[i])* = (id[j])*: $ T\left(n\right) = O\left(n\right) $
• union: la testa della prima catena punta alla testa della seconda, cioè (id[p])* = (id[q])* → l'albero si frastaglia: $ T\left(n\right) = O\left(1\right) $

Nella find si deve perciò percorrere tutta la catena fino alla testa, la union è immediata (unione solo delle teste).

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