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2 L'analisi di complessità è un metodo formale per prevedere le risorse richieste dall'algoritmo (cioè il tempo di esecuzione e la quantità di memoria utilizzata).
- Il tempo però non è un tempo fisico o misurato sperimentalmente su un processore, ma dipende dal numero di passi → l'analisi di complessità è indipendente dalla macchina. Si assume che la macchina lavori in modo sequenziale e non parallelo (architettura di Von Neumann). 8 Un algoritmo meno complesso su una macchina più lenta può essere più veloce.
- L'analisi è indipendente da quali dati in ingresso ci sono 3 ma è dipendente solo da quanti dati in ingresso ci sono, cioè più in generale dalla dimensione n del problema.
- Output
- $ S \left(n\right) $: memoria richiesta
- $ T \left(n\right) $: tempo di esecuzione
- 4 Classificazione degli algoritmi per complessità (dal meno complesso al più complesso)
- costante: $ 1 $
- logaritmico: $ \log{n} $
- lineare: $ n $
- linearitmico: $ n \log{n} $
- quadratico: $ n^2 $
- cubico: $ n^3 $
- esponenziale: $ 2^n $
Analisi di complessità di caso peggiore
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L'analisi di complessità è detta:
- 5 asintotica se il numero di dati tende a infinito;
- di caso peggiore se il tempo stimato non può che essere maggiore o uguale al tempo effettivo su uno specifico dato.
6 Si stima il caso peggiore perché è quello più frequente generalmente, e perché il caso medio spesso è difficile da calcolare o coincide con il peggiore.
- 9 Ricerca sequenziale
- $ T\left(n\right) \propto n $
- 10 Ricerca dicotomica
Bisogna considerare il caso peggiore: la chiave non si trova. Alla i-esima iterazione, la lunghezza del sottovettore è uguale a $ \tfrac{1}{2^i} $. La terminazione avviene quando il vettore è lungo $ 1 = \tfrac{1}{2^i};\;i = \log_2{n} $.
- 11 Insertion sort
Nel caso peggiore, ad ogni iterazione del ciclo esterno si fanno i − 1 scansioni del vettore, e all'ultima se ne fanno n − 1:
- $ T\left(n\right) = 1 + 2 + \ldots + \left( n - 2 \right) + \left( n - 1 \right) = \frac{n \left( n - 1 \right)}{2} \rightarrow T\left(n\right) \propto n^2 $
Notazioni
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O grande ($ O $)
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13 $ T\left(n\right) = O\left(g\left(n\right)\right) \Leftrightarrow \exists c > 0, \, n_0 > 0 : \forall n \geq n_0 \rightarrow 0 \leq T\left(n\right) \leq c \cdot g\left(n\right) $
$ g\left(n\right) $ è un limite superiore lasco:
- superiore: è una funzione maggiorante, a partire da un certo $ n_0 $;
- lasco: non scresce come $ g\left(n\right) $, ma al più come $ g\left(n\right) $.
14 Se $ T\left(n\right) $ è un polinomio in $ n $ di grado $ m $ → $ T\left(n\right) = O\left(n^m\right) $.
Omega grande ($ \Omega $)
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15 $ T\left(n\right) = \Omega \left(g \left( n \right) \right) \Leftrightarrow \exists c > 0, \, n_0 > 0 : \forall n \geq n_0 \rightarrow 0 \leq c \cdot g\left(n\right) \leq T\left(n\right) $
$ g\left(n\right) $ è il limite inferiore lasco della complessità asintotica di caso peggiore (≠ caso migliore). Se si dimostra che, per una certa operazione, la $ \Omega $ è maggiore della complessità lineare, non si potrà mai trovare un algoritmo lineare che svolga quell'operazione.
16 $ T\left(n\right) $ polinomio → $ T\left(n\right) = \Omega \left( n^m \right) $
Theta grande ($ \Theta $)
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17 $ T\left(n\right) = \Theta \left(g \left( n \right) \right) \Leftrightarrow \exists c_1, \, c_2 \, n_0 > 0 : \forall n \geq n_0 \rightarrow 0 \leq c_1 \cdot g\left(n\right) \leq T\left(n\right) \leq c_2 \cdot g\left(n\right) $
$ g\left(n\right) $ è il limite asintotico stretto di $ T\left(n\right) $: $ T\left(n\right) $ cresce come $ g\left(n\right) $.
18 È la combinazione dei due precedenti:
- $ T\left(n\right) $ polinomio → $ T\left(n\right) = \Theta\left(n^m\right) $;
- $ T\left(n\right) = \Theta\left(g\left(n\right)\right) \leftrightarrow T\left(n\right) = O\left(g\left(n\right)\right) \wedge T\left(n\right) = \Omega\left(g\left(n\right)\right) $
Online connectivity
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19 L'online connectivity è un problema avente per input un insieme di coppie di interi p e q (per es. i nodi di una rete). (p, q) definisce una relazione di connessione tra i nodi p e q.
- Proprietà
- commutativa: se p è connesso con q → q è connesso con p;
- transitiva: se p è connesso con r ∧ q è connesso con r → p è connesso con r.
Le coppie possono essere:
- mantenute: la connessione della coppia non è ancora nota (output: coppia (p, q));
- scartate: la coppia è già connessa, anche per la proprietà transitiva o commutativa (output: nullo).
- 20 Applicazioni
- reti di computer: ottimizzazione togliendo le connessioni ridondanti;
- reti elettriche;
- linguaggi di programmazione: variabili equivalenti.
La struttura dati a grafo è costituita da 2 insiemi: nodi p e q e archi.
21 Per ottimizzare il grafo, si verifica di volta in volta se la connessione della coppia in input non è ancora nota o se è implicata già dalle precedenti. L'analisi di questo genere presuppone l'esistenza del grafo → non è un'analisi di connettività online.
34 La connettività si dice online se si sta lavorando non su una struttura o su un modello pre-esistente, ma su un grafo che viene costruito arco per arco.
- 35 ipotesi: si conoscono i vertici, e ogni vertice è connesso solo a se stesso → nessun arco;
- operazione find (ricerca): a ogni coppia in input, verifica se p e q appartengono allo stesso insieme (2 find);
- operazione union (unione): se p e q non erano connessi, unisci l'insieme a cui appartiene p (Sp) e l'insieme a cui appartiene q (Sq).
L'online connectivity può essere implementata tramite vettori:
- quick-find: find rapide, union lente;
- quick-union: find lente, union rapide.
Quick-find
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37 A seconda del contenuto della cella del vettore:
- se è il suo stesso indice i: il vertice i-esimo è connesso a se stesso;
- se è un altro indice: i due vertici appartengono allo stesso insieme.
- Complessità
- 38 find: accesso a una cella di vettore tramite il suo indice: $ O\left(1\right) $
- union: scansione del vettore per cambiare da p a q: $ O\left(n\right) $
Complessità di caso peggiore totale: numero di coppie × dimensioni vettore (n)
39 riferimenti diretti (nessuna catena) → si trova subito il rappresentante
Quick-union
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53 C'è una catena di riferimenti di tipo indiretto. A seconda del contenuto della cella del vettore:
- se è uguale al suo indice i: fine catena;
- se è diverso dal suo indice: passa alla cella i-esima a cui punta: id[id[...id[i]]...] = (id[i])*
- Complessità
- 55 find: due elementi sono connessi se (id[i])* = (id[j])*: $ T\left(n\right) = O\left(n\right) $
- union: la testa della prima catena punta alla testa della seconda, cioè (id[p])* = (id[q])* → l'albero si frastaglia: $ T\left(n\right) = O\left(1\right) $
Nella find si deve perciò percorrere tutta la catena fino alla testa, la union è immediata (unione solo delle teste).
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