Operazioni su alberi binari[]
Attraversamento di un albero binario[]
2 Strategie di visita degli alberi binari: (Root = radice, L = sottoalbero sinistro, R = sottoalbero destro)
- pre order: Root, L, R
- in order: L, Root, R
- post order: L, R, Root
L'operazione di attraversamento ha complessità lineare.
Calcolo ricorsivo di parametri[]
- 3 numero di nodi: 1 Root + ricorsione(L) + ricorsione(R)
- altezza: 1 + altezza del sottoalbero maggiore (calcolata in modo ricorsivo)
Alberi binari di ricerca (BST)[]
4 albero binario di ricerca = albero binario in cui, per ogni radice, si trovano nodi minori o uguali nel sottoalbero sinistro e nodi maggiori o uguali in quello destro → la radice è l'elemento di separazione tra dati minori a sinistra e maggiori a destra.
Operazioni di base[]
Search[]
6 Ricerca una chiave, determinando a ogni radice il sottoalbero in cui cercare con un semplice confronto.
- Casi di terminazione
- search hit: la chiave è stata trovata in una radice;
- search miss: la chiave non è stata trovata e si è giunti a un albero vuoto.
Min/Max[]
7 Ricerca il valore minimo/massimo, percorrendo tutti i sottoalberi sinistri/destri.
Sort[]
15 Per ottenere l'ordinamento crescente delle chiavi basta visitare il BST in order.
Successor[]
8 1° modo) Si ordinano i valori nell'albero con l'operazione Sort.
2° modo) Il successore è l'elemento che tra le chiavi più grandi ha la chiave più piccola → è il minimo del sottoalbero destro. Se il sottoalbero destro è vuoto, si cerca il primo antenato che abbia come figlio sinistro il nodo stesso o un suo antenato.
Predecessor[]
11 1° modo) Si ordinano i valori nell'albero con l'operazione Sort.
2° modo) Il predecessore è l'elemento che tra le chiavi più piccole ha la chiave più grande → è il massimo del sottoalbero sinistro. Se il sottoalbero sinistro è vuoto, si cerca il primo antenato che abbia come figlio destro il nodo stesso o un suo antenato.
Insert[]
14 Inserisce un nuovo elemento mantenendo le proprietà del BST. L'inserzione avviene sempre nelle foglie.
Se il BST è vuoto, crea un nuovo albero, altrimenti:
- inserzione ricorsiva: considera ricorsivamente terne L-Root-R, e a ogni passo effettua un confronto;
- inserzione iterativa: prima ricerca (search) la posizione in cui la chiave si dovrebbe trovare, quindi la inserisce in quella posizione.
Select[]
16 Dato un valore intero k, estrae/sceglie la k + 1-esima chiave più piccola nel BST (con k che parte da 0). Dopo aver associato a ogni nodo il numero delle chiavi contenute nei sottoalberi radicati in esso,[1] a ogni terna L-Root-R determina se la chiave che si sta cercando può essere contenuta nel sottoalbero L in base al suo numero di chiavi associato t (per il sottoalbero sinistro vuoto: t = 0):
- se t = k: termina l'operazione di select e ritorna Root;
- se t > k: scende nel sottoalbero L;
- se t < k: scende nel sottoalbero R, ricercando la chiave di ordine k = k − t − 1.
Complessità[]
20 Tutte queste operazioni sui BST sono di complessità lineare[2] rispetto all'altezza dell'albero: → rispetto a n. Il BST è vantaggioso tanto più l'albero è bilanciato:
- caso migliore: (albero completamente bilanciato)
- caso medio:
- caso peggiore: (albero completamente sbilanciato)
Effettuando tante operazioni su un BST bilanciato, il BST si potrebbe però sbilanciare:
1ª soluzione) ogni tanto si ribilancia il BST → poco efficace, perché si aggiunge la complessità dell'operazione di ribilanciamento;
2ª soluzione) si costruisce un albero bilanciato per costruzione, applicando dei vincoli.
Operazioni di servizio[]
Rotate a destra/sinistra[]
21-22 Si scambia il rapporto padre-figlio tra due nodi x e y, posizionando opportunamente i sottoalberi di partenza dei nodi attraverso semplici spostamenti dei puntatori ai sottoalberi.
Operazioni avanzate[]
Inserimento alla radice[]
24 Inserisce la chiave con l'operazione Insert, quindi effettua delle rotazioni per spostare progressivamente la nuova chiave dal basso verso la radice.
Partition[]
31 Riorganizza l'albero intorno a una certa chiave di ordine k (Select), portandola alla radice (Rotate). Se applicata intorno alla chiave mediana, spesso permette di ribilanciare un BST.
Delete[]
- 38 nodo senza figli (foglia): si può cancellare subito la foglia;
- nodo con 1 figlio: basta connettere il figlio del nodo con il padre del nodo;
- nodo con 2 figli: bisogna sostituirlo o con il suo predecessore o con il suo successore:
- Precedessor/Successor: si ricerca il predecessore/successore in uno dei sottoalberi;
- Partition: lo si fa galleggiare fino alla radice;
- lo si connette con l'altro sottoalbero.
Note[]
- ↑ Si calcola in questo modo:
- ogni foglia è costituita da 1 chiave;
- procedendo dal basso verso l'alto (bottom-up), si somma a ogni passo le dimensioni dei sottoalberi e si aggiunge 1 per la radice.
- ↑ Ad esempio, nel caso peggiore i confronti dell'operazione di search vengono fatti fino in fondo all'albero.